Sur les fonctions elliptiques S{u). 81 



Mais on trouvera plus facilement une autre formule de réduction 

 et plus commode que (5), en observant que 



(6) jkoo ^;.o(") u^) du=j lir 00 u^o hx^^) . ^,o(«) d u =ß:xu) ^^» d u , 



intégrale dont nous avons déjà donné la valeur, par l'équation (3) p. 48. 

 Chercher la formule de réduction de l'intégrale 



(7) J = ^^lW^^oWhX^)du , 



l et m étant des nombres entiers positifs. 



On a, par la dernière des équations (8) p. 3, 



au t r- 



= -P èr '(«) ^%» ^Ä.(") {s1„(«) + en-e.} - q iK«) -§'-\u) ^^^ {$^„(u) + e,-e.} 



-q{ef.-er)^Uu)è''-\u)^,M . 



En faisant, dans cette équation, p = Z et q = m — 1 , on en ob- 

 tiendra, en l'intégrant. 



' et — - 



(8) /^L(^o^;o(«)^A.(«)^^- - ; + „,_! 



l + ??i 



771 — 1 



_ (,^ _ er)fê[x^i)s;-XiOhX^^)du 



i -f- ??i 



En opérant ainsi plusieurs fois, on arrive à une intégrale de 

 l'espèce J, = I è\o(ii')'§xX^''')du , si un des exposants est pair, à une inté- 



grale de l'espèce Jg = I^L(^)^/ioOO'';.i'W^" > si iii l'^ii iii l'autre des ex- 

 posants ne sont pairs. 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. II 



