86 Axel Söderblom, 



Chercher la formule de réduction de l'intégrale 



(8) J=ßliu)%(un,^{u)du , 



l et m étant des nombres entiers positifs. 



Première transformation: On a, par la relation (A) p. 5, 



(9)/^L(«) ?!/.(") ?,,„(«) du = /^L(") ^a7'(«) K^^)du - {ex-e^,)ß\-\u) if^(,u) t^^{u)du . 



Dans cette formule de réduction, l'intégrale proposée est rem- 

 placée par deux intégrales, dans les différentielles desquelles un des expo- 

 sants est réduit de deux unités. En l'employant plusieurs fois, on arrive 

 à des intégrales dont les valeurs sont déjà calculées. 



Deuxième transformation: On a 



par les relations (6) p. 3. — En faisant, dans cette équation, p = l ~ 1 , 

 q = m ^ on aura, en l'intégrant 



(10)ßliu)n'^iu)K^iu)du = _ ^^"'|"^^y^^^ _ ^i^ iei-e^)ß\-\u)^f^m^^(u)du. 



La formule de réduction (10) est à préférer à la formule (9), parce 

 qu'elle ne contient qu'une intégrale, dans la différentielle de laquelle 

 un des exposants est réduit d'autant d'unités que les exposants dans 

 l'équation (9). En l'employant plusieurs fois, on arrive à l'intégrale 



Ji = /^r^(")M")'^^i si l est pair, à l'intégrale J^ = ho^^'-^^Xfi^^'^K^^^^^du , 



si l est impair. Pour la valeur de l'intégrale J^ voir le paragraphe 12; 

 pour celle de l'intégrale J^ voir l'équation (13)."* — En éliminant, entre 



(9) et (10), l'intégrale j^'x^\u)^'}iJß)^pJ.u)du , on obtiendra encore une for- 



