Sur les fonctions elliptiques ^(ii). 89 



Eu faisant, dans cette équation, p z= l ~ 1 , q = m ^ r = 7i — l , on 

 en obtiendra, en l'intégrant 



(17) ß'Mr^u)n,{u)du = _ '-o^^i-^)^^'^^^ _ 



Cette formule de réduction est applicable, si ce n'est que /—1 = 0. 

 Si / = 1, l'intégrale proposée serait p^o005r^00^î^iu(")^" i dont la valeur 



t.' 



est déjà calculée. — Par l'équation (17), l'intégrale proposée est rem- 

 placée par deux intégrales. Dans la différentielle de la première, la 

 somme des exposants n'est pas réduite de plus que de deux unités, dans 

 la deuxième la somme est réduite de quatre unités. — Dans la formule 

 de réduction (15) c'est seulement dans la différentielle d'une des inté- 

 grales que la somme des exposants est réduite. — Si l'on fait, dans 

 l'équation (16), p = l — 1 ^ q^m — 2 et ?• = n + 1 , on aura, en l'in- 

 tégrant, 



(18) ?î;x^o?r(^o^:;x^o + (^- i)/?L(^)?v"(")5:;'(«)^^ + 



+ {l + m + n-2) (ei - e,) ß',-\u) ^'l'^u) 5;',+^(u) du - 

 - {n + 1) [ex - e.)j^-\u) ^-\u)il^{u) du = . 



En éliminant, entre (15) et (18), l'intégrale \t\X'^i)l'l-\u)Vl+\u)du , 



on aura aussi une formule de réduction. Dans les différentielles des 

 intégrales de la nouvelle formule, la somme des exposants est réduite 

 de deux et de quatre unités. 



En faisant, dans l'équation (17), j« = 1 , on aura la formule de 



réduction de l'intégrale \'^Xo{^t)'^)Si')'^lÅu)du . 



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