Sur les fonctions elliptiques S{u). 93 



D'abord, on a, par l'équation (/*) p. 5, 



En opérant ainsi plusieurs fois, on pourra rendre l'intégrale pro- 

 posée dépendante des intégrales l?i„(«)^yi^(")<^^" i • • • , dont les valeurs 



sont déjà calculées. — Mais une formule de réduction, plus commode 

 que (8), s'obtient ainsi: On a 



= - mr(^on^Ku)hx^^) - (* + n) {e, - ^.)?irw^i;x«)?A.oo + 



Si l'on fait, dans cette équation, k = l — 1 et ?z = ?« _ 1 , on 

 aura, en l'intégrant 



(9) {l- l)Ju^)%%u)hMdic - (m - IXe, - e.)ß[-'{u)n'^{u)S,X^Odu = 



En éliminant, entre (8) et (9), une des intégrales l?^^(;i)l|'~^(z<)J^j,(i<)c/i{ 



^^' I ^iö^(")^L(")^Aj.OO'^^^ ' °^ wxra une formule de réduction, ne conte- 

 nant plus qu'une intégrale dans la différentielle de laquelle les deux 

 exposants ne sont pas réduits de deux unités. 



Chercher la formule de réduction de l'intégrale 



(10) J=/?LM?r»?L(«)^^' , 



l, m et n étant des nombres entiers positifs. 



