Sur les fonctions elliptiques ^(ii). 95 



Entre (11), ou répétée ou transformée selon la méthode (12), 

 et (13), on pourra éliminer une des intégrales ^'x^\''-'')^'L{u)Sl~'^(ii) du , 



/^LOO^I'A'O^TOOrfu , ot ß^-Xu^^f-XiO^i^u^du , et avoir ainsi une 



nouvelle formule de réduction de l'intégrale proposée. 



En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'intégrale (10) donne les va- 

 leurs des intégrales 



fcos'"^" am u . sin"' coam u , f /\'+'' am u 



"?< , j—^^ ^^ du 



J sm' am u . sin" coam u ' 



1 , 



du 



sin' am u . cos'" am u . /\" am u 



§ 21. 



Calcul de la valeur de l'intégrale T^^r\ nr^^" (« = 1,2,3,..) 



• J [S [U) — a)" 



Ayant complètement calculé les valeurs des intégrales des fonc- 

 tions ^(m), élevées à une puissance quelconque, les valeurs des intégrales 

 des produits de deux fonctions §(u), élevées à des puissances quelcon- 

 ques, et les valeurs des intégrales des produits de trois fonctions ë(ii), 

 chaque fonction élevée à une puissance quelconque, il nous reste à traiter 

 les intégrales des produits de l'ordre suivant: les intégrales dont les 

 différentielles sont des produits de quatre fonctions indépendantes ê(ii), 

 élevées à des puissances quelconques. 



Les indices d'une fonction §(ii) désignant, le premier la fonction 

 a(u) du numérateur, le second la fonction oÇu) du dénominateur de la 

 fraction b(t<), on voit immédiatement qu'il n'est pas possible de faire un 

 produit §(^^) . |(îi) . §(u) . §(u) de quatre fonctions indépendantes ayant le 

 même nombre pour indice second. Donc, il n'est pas possible non plus 

 de faire un produit de quatre fonctions indépendantes ^(w), le premier 

 indice des quatre fonctions étant le même. 



