96 Axel Söderblom, 



Ainsi, pour faire un produit de quatre fonctions indépendantes ^(u) , 

 il faut faire désigner deux nombres différents (0 , 1 ; 1 , 3 ; , 3 ; . . .) aux 

 indices seconds, les deux autres nombres (2 , 3 ; , 2 ; . . .) étant désignés 

 par les premiers indices. Donc, il n'y a que deux formes possibles des 

 produits de quatre fonctions indépendantes ^{u), savoir: 



(1) ^^oC«)^»^.o(")^.;.(^0 

 et 



(2) ^o;.00M«)^3'a(^)^.,(^') , 



— l'une réciproque de l'autre — chaque fonction §(u) étant élevée à 

 une puissance quelconque. Mais il j a des équations, par lesquelles 

 on transformera aisément ces produits, en les remplaçant par les produits 

 des fonctions des espèces déjà traitées. Les produits (1) et (2) ayant 

 deux pôles, o, œx; co;., co^, il faut en chercher des substitutions, ayant 

 les mêmes pôles (et, les mêmes zéros). Les formules de transformation 

 convenables sont 



{h), {k) et (/) p. 5. — Dans chacune de ces équations, les fonctions 

 du second membre ont les mêmes pôles que le produit des fonctions 

 du premier membre. Ainsi, il est toujours possible de diminuer le 

 nombre des facteurs indépendants des produits (1) et (2). Quelque 

 grands que soient les exposants des puissances des fonctions ^(m) des 

 produits, en employant plusieurs fois les formules mentionnées tout à 

 l'heure, on arrivera à des produits de trois facteurs indépendants. 



Comme il n'y a pas plus de quatre nombres (0,1,2,3), désignés 

 par les indices des fonctions l(r<); par suite, comme il n'est pas pos- 

 sible de faire des produits de plus de quatre facteurs indépendants, 

 les intégrales déjà calculées comprennent complètement tous les cas 

 possibles de produits de facteurs simples et indépendants, et dont 

 les exposants sont des nombres entiers. 



Mais, il y a encore grand nombre de fonctions comjDOsées des 

 fonctions ^(m), dont les intégrales sont exprimables par les mêmes fonc- 

 tions que les intégrales déjà traitées et qui sont d'une haute importance 



