Sur les fonctions elliptiques §{u). 105 



l:o Soit §(n) = ?„;.(") • — O'i '^ 6u vertu des équations (8) et 

 (9) p. 3, 



/ 





V{1 - «^1;.(«)} (1 - ^^:;.00} {1 - (^^ - e!.K,(u)} {1 - (^. - e?Xi(^<')] 



Soient cf, /^, j' , cV les valeurs des a, 6, (?^ — <?;., «»• — e;., quan- 

 tités prises dans un ordre quelconque. Ainsi, ou a 



__ r ^ib^o;.W|«gc;.W 



Stqjposons que aß = ya; et substituons l^p (r<) V«/? = a; . Ainsi 

 on aura 



^{^x«)} ^„ _ r ^>(^). 



(7) r_=_£iia_=_- c/.. = / 



^ ' j vu - as^^MI 11 - bS'(u)] J ]/l + bx 



V{1 _ a§\u)] {1 - ii"»} ^ Vl + bx' + co;* + dx' + 



da; , 



où F ix) désignera une fonction rationelle de x. — L'intégrale (7) étant 

 calculée ^), la valeur de l'intégrale (6) se donne immédiatement. — Ainsi, 

 l'intégrale (6) est égale à une somme d'intégrales elliptiques, si aß = yå^ 

 c'est à dire, si 



(8) ah = {ef, — ex) (e., - e;.) , \ = ^JiZZlL . 



2:o Soit -è{u) = ^;„(?0 . On a, (8) p. 3 et (U) p. 4, 



/- 



F{ê{u)] 



V{l_a^(u)). {l_6sn«)} 



du = 



^^'-'^'^ ^^ . , , ä,,„iu) 



/{1 - «^loWlU - 6^L(«)}{(^^ - ei)-Sio{ume.-ex)-§Uu)] 



1) Voir Bertrand: Traité de Cale. diff. et de Cale. Int. II 66. 

 Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1* 



