Drehung eines starren Körpers. 21 



Wenn das Argument von durch die Werte a> , a> -f. tu' , tu' zurück 

 zu wandert, geht die ^J-Funktion von + oo durch e^, e^^ e^ zu — oo und 

 nimmt also alle reellen Werte an. Wenn die jj-Funktion einen reellen 

 Wert hat, liegt daher der Wert des Argumentes auf einer der Seiten 

 des Quartperiodeuparallelogramms. Im Vorhergehenden ist gezeigt, dass 

 F zwischen c^ und — oo liegt. Der Wert u^ des Argumentes, für wel- 

 chen jj(î«) = F ist, muss daher rein imaginär sein, wie vorausgesagt 

 worden ist. Ich schreibe daher iw statt «, so dass die aufzulösende 

 Gleichung 



jj(ïï(;) = F 



wird. 



Um einen Wert io\, der diese Gleichung befriedigt, zu finden, hat 

 Herr Söderblom folgende Methode erfunden. 



Die /j-Funktion ist ja diejenige, welche die Differentialgleichung 



wo ^1 , f?2 , (?s die drei Wurzeln der rechten Seite sind, befriedigt *). 



Führe nun die Substitutionen u = iio und s = — s^ ein, so geht 

 diese Gleichung in 



die 



= 4.S?— .92'^'l+i/3 



über. Die Wurzeln der rechten Seite dieser Gleichung müssen —e^ , —e^ , — e^ 

 sein, wie bei Vergleichung mit der vorhergehenden ersichtlich ist. Die 

 letzte Differentialgleichung wird von Sj = p (w) befriedigt, welcher p- 

 Funktion doch die Wurzeln — ßj, —^2? — ^s angehören, und die wir daher 

 Pi(w) nennen wollen. Weil nun ^i > ^2 > ^3 , muss — ^g > — gg > — ^i sein, 

 und — es ist also die grösste Wurzel. F lag aber zwischen 63 und — 00 , 

 folglich liegt — F zwischen — e^ und -j- 00 . Die Gleichung 



p.^iü) = -F 



(wir hatten nämlich Pi(iö') = — s = — pÇiio) =. — F) 



muss daher von einem reellen Wert lo^ befriedigt werden. 



1) Schwartz: S. 12. 



