2 Rolf Nevanlinna. (LXII 



Die folgende Darstellung ist ein Versuch die Verzerrungs- 

 sätze in möglichst einf acher Weise abzuleiten. Wir fangen mit 

 dem grundlegenden Faber-Bieberbach'schen Koeffizienten- 

 satze an, fur den wir einen neuen Beweis geben. Unser 

 Beweis zeigt ausserdem, im welchen Maasse die notwendige 

 Faber-Bieberbach'sche Bedingung auch hinreichend ist. Wir 

 gehen dann zur Ableitung der Schranken fur die abbildende 

 Funktion iiber und zeigen dass eine schon friiher von Herrn 

 Bieberbach 1 ) gefundene Grundungleichung nicht nur un- 

 mittelbar die von ihm ermittelte Schranke fur arg f(x) gibt, 

 sondern vielmehr die ganze Lösung des Verzerrungsproblems 

 enthält, indem auch die von Herrn Pick aufgestellten scharf en 

 Schranken fur den absoluten Betrag der Funktion und ihrer 

 Ableitung leicht aus ihr abgeleitet werden können. Als neues 

 Resultat ergibt sich ausserdem die von Herrn Gro nwall 2 ) 

 vermutete untere Grenze der Rundungschranke einer schlicht 

 abbildenden Potenzreihe. Zuletzt geben wir von den gefun- 

 denen Resultaten ausgehend einige weitere Abschätzungen, 

 indem wir annehmen dass der Bildbereich innerhalb eines 

 gegebenen Gebietes liegt; als spezieller Fall ergeben sich die 

 von Herrn Pick 2 ) aufgestellten Ungleichungenfur eine be- 

 schränkte schlicht abbildende Funktion. 



I. Ableitung des Koeffizientensatzes. 



1. Wenn die durch die Potenzreihe 

 O) f(x) = x + a 2 x* + -..- + a n x n + ••••• 



und zugleich beschränktes Gebiet (Sitzungsberichte der Kaiserl. Akademie 

 der Wissenschaften in Wien, Math.-naturw. Klasse, Abt. Ila, Bd. 126, 2. Heft, 

 1917, S. 1—17). 



P. J. Myrberg: Uber den Yerzerrungssatz in der Theorie der konfor- 

 men Abbildungen (Öfversigt af Finska Vetenskaps-Societetens Förhandlingar, 

 Bd. LX, 1917—1918, Afd. A, N:o 7). 



L. Bieberbach: Aufstelhing und Beweis des Drehungssatzes fur 

 schlichte konforme Abbildungen (Math. Zeitschrift, Bd. 4, Heft %, Berlin 

 1919, S. 295—305). 



') Vgl. die in Fussnole 4, S. 1 angegebene Arbeit. 



■) a. a. O. 



