A N:o 7) Ober die schlichten Abbfldungen des Einheitskreises. 3 



definierte Funktion f (x) den Einheitskreis auf ein schlichtes 

 Gebiet G konform abbildet, so bildel die Funktion 



(2) w (x) = j* x) ^ l x + b + b 1 x + -... + b n x" + 



den Kreis .r < 1 auf einen den Unendlichkeitspunkt enthal- 

 tenden ebcnfalls schlichten Bereich F ab. Hierbei ist 



K= — a 2 . h = a 



und allgemein ist b n eine ganze rationale Funktion von 

 a 2 , a 3 , . . ., a n+2 . Der dem Kreise [se | <^ r < 1 entsprechende 

 Teilbereich von /"wird r r genannt; die Faber-Bieberbach'- 

 sche Bedingung lautet nun, dass F r fiir jedes r < 1 einen 

 Teil der Ebene freilässt, und dass also der Flächeninhalt die- 

 ses Teils einen positiven Wert besitzt. Dieser Flächeninhalt 

 I r wird im folgenden gesucht. 



Setzt man w(x) = Re U[> und x = re ic P so erhält man 

 zunächst, wenn y r die Randkurve von J\ bezeichnet, 



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(3) I r = - 2 JRM0^-^JR^d, P . 



Yr 



XT . . d& d r dR , , . ' 



Nun ist— - = r — log /t = ~ - ^- > und also wird 

 dep or * R or 



2n 2* 



(3) I '=-2) R Tr d< t = -l) V^' 



o o 



Ferner ist. 



R z = y>(x). w(x) = ~ + | b \* + • • • • + i & n | 2 r 2n + • • • • + (e In 9>), 



\vo die Glieder (e'" 7 ) irgendeinen Faktor der Form e tnC P 

 (nr|=0) enthalten , ). Hieraus folgt 



d_ 

 dr 



m-^-^-l^r n\b n W"-i + («**)). 



') Vgl. die in Fussnote 3, S. 1 erwähnte Bieberhnch'sche Arbeit (S. 942). 



