4 Rolf Nevanlinna. (LXII 



Bei der Integration verschwinden die Glieder (e n ^) und 

 wir erhalten somit 



(4) A. = ^ 2 -|&i! 2 '- 2 "lt 2 r 2n -- 



Die Faber-Bieberbach'sche Bedingung besagt nun, dass 

 dieser Ausdruck immer positiv ist, öder also, dass 



(5) \b 1 \h*+...- + n\b n \ 2 r 2n + <^ 



ist fiir jedes r < 1. Daraus folgt, dass die links stehende 

 Reihe auch fiir r — 1 konvergiert, und dass 



(5)' |/7 ! ö n ; 2 ^|& 1 | 2 +....+/7!ö n ;2-f ....<1. 



Dies ist der grundlegendeFaber-Bieberbach'sche Flächensatz. 



2. Das Bestehen der Ungleichung (5)' ist somit eine 

 notwendige Folge aus der Schlichtheit der Abbildung. 

 Dass diese Bedingung nicht hinreichend ist, zeigt z. B. 



1 1 



die einfache Funktion - + b + tt= x n (n J> 2), welche der 



x ]/ n 



Bedingung (5)' geniigt, den Einheitskreis aber nicht schlicht 

 abbildet. Es entsteht also die Frage, welche nichtschlichteji 

 Abbildungen mit der Bedingung (5)' vereinbar sind. 



Denken wir zuerst, dass T nicht iiberall schlicht ist, son- 

 dera dass dieses Gebiet an einigen Stellen doppelt iiberdeckt 

 ist; fiir hinreichend grosse Werte von r gilt dann dasselbe 

 in Bezug auf F r . Biidet man nun das Integral (3), so sieht 

 man, dass die doppelt bedeckten Flächenstiicke einen negati- 

 ven Flächeninhalt bekommen. Die Bedingung (5) besagt also 

 fiir diesen Fall, dass die Summe der Inhalte der doppelt 

 bedeckten Flächenstiicke in T r fiir jedes r < 1 kleiner als 

 der Flächeninhalt des von r r freigelassenen Teils der Ebene 

 ist. Sind in r gewisse Teile mehrfach, drei-, viermal 

 u. s. w. iiberdeckt, so bekommen diese Flächenteile in T r 

 samtlich negative Inhalte und werden ausserdem mehrfach, 

 zwei-, dreimal u. s. w. gezählt. Wir finden somit: 



