A N:o 7) Ober die schlichten Abbildungen des Kinheitskreises. 5 



Wenn die Bedingung (5)' besteht, so ist fur jedes r < 1 die 

 Summe der Flächeninhalte der mehrfach iiberdeckten Teile von 

 r r immer kleincr als der Flächeninhalt des von diesem Gebiete 

 freigelassenen Teils der Ebene. 



3. Wir wollen jetzt nachsehen, welchen Beschränkungen 

 die ersten Koeffizienten der Potenzreihe (1) durch die Be- 

 dingung (5)' unterworfen-sind. Es muss of f enbär 



(6) |&i| = |« 2 a — « 3 |^1 



sein, wo Gleichheit nur dann eintreffen känn, wenn die 

 Koeffizienten b 2 , b 3 , ... alle verschwinden. Man erkennt 

 sofort, dass es wirklich schlicht abbildende Funktionen 

 gibt, fur welche der letztgenannte Fall zutrifft; setzt man 

 nämlich b y — 1, b 2 = b 3 = .. — 0, so erhält man 



(7) ifj(x) = --a^ + x, 



Diese Funktion biidet den Einheitskreis auf die von dem 

 Punkt — 2 — a 2 bis zum Punkte 2 — a 2 geradlinig auf- 

 geschlitzte Vollebene ab. 



Aus der Bedingung (6) ergibt sich keine obere Schranke 

 fur den absoluten Betrag des zweiten Koeffizienten a 2 . Im 

 Gegenteil zeigt das Beispiel (7), dass jeder noch so grosser 

 Wert von a 2 \ bei schlicht abbildenden Funktionen (1) vor- 

 kommt. Anders verhält die Sache sich, wennzu der Schlicht- 

 heit des Bildbereiches G noch die Forderung kommt, dass 

 dieser Bereich nicht den Unendlichkeitspunkt und der Be- 

 reich F also nicht den Nullpunkt als inneren Punkt enthal- 

 ten darf. Diese Annahme ergibt in dem besonderen Fall (7) 

 die Bedingung, dass a 2 reell und dem absoluten Betrage nach 

 kleiner öder höchstens gleich 2 sein muss. 



Herr Bieberbach hat gezeigt, dass 2 in der Tat die 

 obere Schranke fur | a 2 1 ist. Er geht von der Bemerkung 

 aus, dass wenn die Funktion (2) den Einheitskreis schlicht 

 abbildet und der Bildbereich den Nullpunkt nicht als inneren 

 Punkt enthält, die Funktion 



