A N:o 7) Ober die schlichlen Abbildungen des Einheitskreises. 



ans, die den Einheitskreis in solcher Weise auf sich selbst 

 abbildet, dass x in den NnllpnnkL iibergeht. Die Funktion 



do» l&T ,ii±ZLy-, M 



gibt dann eine schlichte Abbildung des Einheitskreises 

 i; |< 1 , die den Nullpunkt invariant lässt. In der Umgebung 

 dieses Punktes gilt die Entwicklung 



f® - (1 ~ *o 2 )/'(*o)£ + 2 "O - *o! 2 )[/"(*o)0 - \Xo\ 2 ) 

 -2x o f'(x )]? + ... ■ 



Die Funktion 



?(Ö 



(11) 



(1 - l^ol 2 )/'(^o) 



genugt also den Bedingungen des ersten Abschnitts, woraus 

 nach (8) folgt, dass 



(12) 



/*(*<>) 



/'(*<>) 



(\-\x *)-2x 



<4 



ist x ). Schreiben wir x statt x und setzen wir x = r, so 

 ergibt sich durch eine einfache Umformung 



(13) 



J.'(s) 2r 2 

 /'(i) " 1 - r 5 



< 



4r 



1 



welch.e Ungleichung somit fur jeden Punkt des Kreises 

 x = 7 '(<1) gilt- 



Aus (13) folgt unmittelbar 



4r - 2r 2 



(14) 



r - 2r2 <sv/r/"( x) \< 4r + 2r2 



/'<*) 



<_4L_. 



= 1 _ r2 



') Vgl. S. 296 der S. 2 zitierten Arbeit von Herrn Bieberbach. 



