A N:o 7) Dber die schlichten Abbildungen des Einheitskreises. 9 



Es sei nämlich a die kleinste Enlfernung des Nullpunkts 

 von der Bildkurve des Kreises \x j = r öder also das Minimum 

 von |/ (x) I auf diesem Kreise, und A ein Punkl der genannten 

 Bildkurve, \vo dieses Minimum erreicht wird. Der Strecke 

 von Null bis A, die mit der Bildkurve nur einen Punkt ge- 

 meinsam hat, entspricht im Einheitskreise vermöge der Ab- 

 bildung eine Kurve L, die den Nullpunkt mit dem Kreise 

 | re j = r verbindet, sonst aber ganz innerhalb dieses Kreises 

 liegt. Es ist nun : 



a= f\f'(x)dx \ = f\f'(x)^dr\> f\f'(x)\\dr\. 



L L L 



Wird hier \f'(x)\ durch sein Minimum m(r) auf dem Kreise 

 x\ = r ersetzt, so ergibt sich weiter 



a ^ I m (r) | dr \ g i m (r)dr 



Diese Ungleichung zeigt, dass man eine untere Grenze fur 

 '/ (x) | bekommt indem man die untere Grenze von \f'( x )\ 

 von bis r integriert, was wir eben behaupteten. 



Wir erhalten somit f ur \f (x)\ f olgende Schranken : 



l 



Fiir r — \ ergibt sich hieraus \f(x)\ > -t; der genaue Wert 



der s. g. Koebeschen Konstante, d. h. der unteren Grenze der 



kleinsten Randdistanz des Bildbereiches vom Nullpunkte 



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 ist also -t. 

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Wir wollen nun untersuchen, ob die erhaltenen Schranken 



genau sind. Weil sie durch Integration von bis r aus den 



Ungleichungen (15) erhalten sind, so können sie nur dann 



erreicht werden, wenn das betreffende Gleichheitszeichen 



