10 Rolf Nevanlinna. (LXII 



in (15) fur alle r' (0 <5 r' < r) gilt. Dies fordert aber, dass fur 

 dieselben Werte auch in (12) das Gleichheitszeichen besteht. 



! /"(O) | 

 Fiir x = ergibt diese Relation aber : 777x7 | = 4, also 



a 2 = 2. Hieraus sieht man. dass wenn die Schranken 



(16), (17) und (18) iiberhaupt erreicht werden, dies nur bei 



der von der Funktion (9) vermittelten Abbildung zutreffen 



känn. Man verifiziert nun unmittelbar, dass diese Funktion 



in der Tat die Schranken (16) und (18) erreicht, die unte- 



r r 



ren fiir x — -, die oberen fiir x = — - ; diese Schranken 



sind also genau. Dagegen ist dieAbschätzung(17) fiir arg/'(#) 

 zu weit. Denn die Funktion (9) erreicht sie nicht ; nach 

 obigem känn in (17) also das Gleichheitszeichen iiberhaupt 

 nicht eintreten. Die von Herrn Bieberbach angegebene 

 Funktion 



(1 + log 



1 —x 



2(1 + i) 



welche den Einheitskreis schlicht abbildet, lehrl jedoch, dass 

 die erhaltene Grenze (17) höchstens doppelt zu gross ist. 

 Fiir diese Funktion ist nämlrch längs der pos. reellen Achse 



arg l'(x) = log j— I • 



5. Wir ziehen aus der ersten der Relationen (14) eine 

 weitere Folgerung. Herr Study hat bekanntlich bewiesen, 

 dass die Bildkurve des Kreises x| = r konvex ist, wenn 

 in jedem Punkt dieses Kreises die Bedingung 



erfullt ist. Nach der Ungleichung (14) besteht diese Relation 

 nun sicher, wenn 



2r 2 - 4r 



1 - r 2 --=- 



