A N:o 7) Ober dic schlichtcn Abbildungen des Einheitskreises. 11 



öder also r < 2 — V 3 ist. Diese Zahl ist die Rundungschranke 

 der Funktion (9), und der Wert 2 — 1/3 ist somit die genaue 

 untere Grenze der Rundungschranke einer schlicht abbilden- 

 den Potenzreihe x ). 



III. Uber schlicht abbildende Funktionen, die gewissen 

 Beschränkungen unterworfen sind. 



6. Die Abschätzungen (16) und (18) können auch dann 

 angewandt werden, wenn der schlichte Bereich G der Be- 

 scliränkung unterworfen wird, dass er innerhalb eines gege- 

 benen einfach zusammenhängenden Gebietes // liegen soll. 



Es sei 



(19) z = f(x) = x + a 2 x* + .... + a n x n + 



die Funktion, welche den Einheitskreis auf G konform ab- 

 bildet. Wir bilden den gegebenen Bereich H auf den Einheits- 

 kreis konform ab, so dass die Nullpunkte sich entsprechen 

 und dass die Ableitung der abbildenden Funktion im Null- 

 punkt einen reellen positiuen Wert r bekommt ; weil der 

 Bereich II das Gebiet G enthalten soll, und der Abbildungs- 

 modul fiir x — in (19) gleich eins ist, muss c < 1 sein, 

 wenn eine Abbildung der betrachteten Art iiberhaupt existie- 

 ren soll. Ist c Q = 1, so känn G nur mit II zusammenf allén. 

 Nun bilden wir den Einheitskreis auf das vorhin mehr- 

 fach erwähnte Schlitzgebiet ab. Wenn wir noch mit c divi- 

 dieren, so wird H durch eine Funktion der Form 



(20) £(*)=i + Ci* + 



1 

 auf die von — bis oo längs die reelle Achse aufgeschniltene 



Ebene konform abaebildet. 



') Vgl. die in Fussnote 4, S. 1 zitierte Note von Herrn Gronwall. 



