12 Rolf Nevanlinna. (LXII 



Wir betrachten nun die zusammengesetzte Funktion 



(21) £(f(x))=x+-..- = ](x). 



Sie biidet offenbar den Einheitskreis auf ein schlichtes Gebiet 

 Gj ab und geniigt somit allén Bedingungen des vorigen Ab- 

 schnitts. Beachtet man, dass f'(x) = £'(z) . f (x) ist, so 

 erhält man folglich nach (16) und (18): 



(22) ^<|f W . r (,)|<-l±^ 



und 



(23) n^^i/wi^ä^- 



Diese Abschätzungen sind nur dann genau, wenn der Bereich 



1 

 Gj die von -t bi s °° aufgeschlitzte Ebene ist. Gehen wir 



mittels der inversen Transformation von (20) zu der z-Ebene 

 zuriick so sehen wir, dass G dann der mit einem Einschnitte 

 versehene Bereich H ist, wobei der Einschnitt der Strecke 



1 1 



— — t - der reellen Aehse der .-Ebene entspricht. 

 4 4c 



7. Wir wollen zuletzt die Ungleichungen (22) und (23) 

 auf den besonderen Fall anwenden, wo H ein mit dem Radius 

 R (> 1) um den Nullpunkt besehriebener Kreis ist. Es wird 

 dann 



und also 



?<*> = (flW° (|e, = 1) - 



/»= mx) 



(R+*my 



l{x) - H [R + tm y i(x) 



