A N:o7) Ober die schlichten Abbildungen des Einheitskreises. 13 



Man tilldel soinit nacli (22) und (23) 



< 



/(*) 



< 



R\\ + rf R + >f(x) 2 R\\-r)* 



1 1 -r 

 RH\ H rf 



< 



R - ef(x) 



f'(x) - 



< 



1 1 + r 

 /,'-(l -r) a 



WYil diese Relationen fiir alle ^ bestehen, so folgt in dem 

 an abwechselnd z = — e"'"*'^ und e = e~«' -*><*> setzt: 



in 



(24) 



m~ (l+r)* =I'WI=JP (1-r) 2 

 1 i_ r (^ + |/(.x) ! ) 3 <|/ _ i< l l_+r (A- 1 /<*>!)' 



Aus diesen Ungleichungen ergeben sich leicht untere und 

 obere Schranken fur |/(x)| und f'(x) . So gelten z. B. fiir 

 f(x) die Ungleichungen ] ) 



f(x) >R 



(25) 



(1 +r)\R- |/K(1 + r) 2 - 4r 

 (l + r)VR+ |tf(l +D- 4r 

 r ,lA'(l-_r)» + 4r-(l-r)VÄ 

 /W VÄ(l-r)2 + 4r + (l-r)p 



DieGrenzen(24) und (25) können nach dem oben gesagten 

 nur dann erreicht werden, wejm die Funktion (21) mit (9) 

 identisch ist. Man findet in diesem Fall 



(1 + é a x) ]/R + Vä(1 + A» a - 4c ia x 



') Vgl. S. 15 der in Fuss note 4, S. 1 zitiertea Arbeit von Pick. 



