136 REVUE SCIENTIFIQUE DU BOURBONNAIS 
Ce principe fondamental peut se formuler ainsi : 
Toute grandeur est égale à elle-même et inégale à ce 
qui n’est pas elle ; d'où le corollaire : 
Deux grandeurs égales à une même troisième sont 
égales entre elle. 
Le principe de non-contradictionétantl'axiome unique, 
à la fois nécessaire et suffisant, de toute la géométrie, 
il s'ensuit que certaines propositions, admises jusqu'ici, 
soit à titre de vérités évidentes par elles-mêmes, soit à 
titre de postulats, doivent être considérées, en toute ri- 
gueur, comme des théorèmes. 
Sont de ce nombre le prétendu axiome que la ligne 
droite est le plus court chemin d'un point à un autre, 
et le célèbre postulatum d'Euclide : Par un point donné, 
on ne peut mener qu'une parallèle à une droite donnée. 
Définition 
La ligne droite entre deux points donnés est le lieu 
géométrique des points de l'espace qui restent immo- 
biles dans le mouvement de rotation de l’espace autour 
de deux points donnés, supposés fixes. 
THÉORÈME I 
Entre deux points donnés, on ne peut mener qu'une 
seule ligne droite. 
€ Soient, entre les 
points À et B, la 
à F- droite AB et une 
C autre ligne quelcon- 
que ACB. Imprimons à l'espace, imaginé comme un 
tout solide, un mouvement de rotation autour des points 
A et B. Par définition, tous les points de la droite AB 
resteront immobiles ; mais le point C, par exemple, 
décrira, dans ce mouvement de rotation, la courbe 
fermée CC’, donc la ligne ACB n'est pas droite. 
CoRoOLLAIRE. — Si deux lignes droites ont deux points 
communs, elles coïncident dans toute leur étendue. 
