DÉMONSTRATIONS DES AXIOMES GÉOMÉTRIQUES 137 
En effet, la droite AB peut être supposée indéfiniment 
prolongée dans les deux sens, et il résulte du théorème 
précédent qu’elle est la seule qui puisse passer par les 
points A et B. 
THÉORÈME II 
Dans tout triangle, un côté quelconque est plus petit 
que la somme des deux autres. 
Dans le trian- C 
gle ABC, consi- 
dérons, pour 
qu'il y ait lieu 
à démonstration, 
un côté, AB, par 
exemple, quisoit 
respectivement À (o — B 
plus grand que chacun des deux autres côtés ; il est plus 
petit que leur somme : AB < AC + BC. 
Pour le démontrer, menons AO et BO, bissectrices 
des angles A et B ; rabattons le triangle ACO sur le 
plan ABO ; le point C tombe en C’et CO prend la posi- 
tion C'O ; rabattons ensuite le triangle BCO sur le 
mème plan A BO ; dans ce second rabattement, le point C 
tombe en C” et CO prend la position CO. 
Or, on a : angle AOC + angle BOC > 2 droits 
angle AOB < 2 droits ; 
donc, angle AOC + angle BOC > angle AOB; par suite, 
angle AOC’ + angle BOC” > angle AOB. 
L'angle C’OC’ mesure cette différence qui, si petite 
qu'on la suppose, ne saurait être nulle ; le point C’est 
donc nécessairement situé sur le prolongement de BC”, 
en un point situé entre À et C' ; d'où 
AB < AC'+ BC”; donc 
AB < AC -+ BC. 
D'où il est facile de déduire le corollaire général : La 
ligne droite est le plus court chemin d’un point à un 
autre. 
