DÉMONSTRATIONS DES AXIOMES GÉOMÉTRIQUES 141 
EE, les segments BC’, BD’,BE’ sont tels que si BC'— a’, 
on aura, au minimum, selon la progression double BD” 
— 24 ; BE’ —4a', et ainsi de suite dans la progression 
double. 
Pour le démontrer, abaissons du point D, sur le pro- 
longement de C'C, la perpendiculaire DF. Les deux 
triangles rectangles BCC'et DCF sont égaux comme 
ayant l’hypoténuse égale (BC — CD par construction), 
et un angle aigu égal (les angles en C sont égaux comme 
opposés par le sommet) ; par suite, les côtés BC’'et DF 
sont égaux ; d'autre part dans le quadrilatère CD'DF 
dont trois angles sont droits, le côté DF, adjacent au 
quatrième angle, est égal au côté opposé C'D ouest plus 
petit que lui ; mais en aucun cas, il ne peut être plus 
grand que ce côté (théorème V); CD = DF; mais 
DF — BC';donc C'D'>= BC’; par conséquent BD'= 24’. 
On démontrerait d’une manière analogue que l'on a 
DB PGS EG BD}; d'où D'E="BD'etpar suite 
DE = 4 4. 
THÉORÈME VII 
Par un point donné, on ne peut mener qu'une paral- 
lèle à une droite donnée. 
Soient les droites AB, CD, perpendiculaires à AC, et, 
comme telles, parallèles entre elles. Toute droite autre 
que CD, menée par le point C, CX par exemple, pro- 
longée à l'infini, rencontre nécessairement AB, et, par 
conséquent, ne lui est pas parallèle. 
En effet, des points E, F, G, pris sur CX, tels que si 
CE— a; CF 20 CG — a ; abaissons sur AC les per- 
pendiculaires EF”, FF", GG. En vertu du théorème VI, 
HER 4 on aura, du minimum, CF 28": €ecC 
— 40. 
La droite CX pouvant être prolongée jusqu'à l'infini, 
on peut prendre sur cette ligne, autant de fois que l’on 
voudra, la longueur CE, si grand que l’on suppose le 
