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Y como ejemplo de la divergencia de estos diversos aspectos de 

 la ciencia geométrica, os voy á enunciar unos cuantos teoremas para 

 que veáis cómo cada uno lo resuelve de un modo diferente. Empe- 

 zamos por el problema sencillo que todos conocemos de determinar 

 las rectas paralelas que pasan por un punto. 



Pues bien, mientras la doctrina de Euclides dice que por un 

 punto no puede hacerse pasar más que una recta paralela á otra, 

 Lobatschewsky dice que pueden hacerse pasar dos rectas¡ y Riemen 

 sostiene que no puede hacerse pasar ninguna. 



Mientras que los tres ángulos de un triángulo según Euclides 

 valen dos rectos; la doctrina hiperbólica afirma que valen menos 

 de dos, y la elíptica sostiene que valen más de dos rectos. 



Para los reformadoi'es ya no existen triángulos semejantes, y 

 ya no se puede inscribir un triángulo en una circunferencia; ya el 

 valor de los ángulos de un polígono no es constante sino que á me- 

 dida que aumenta el número de lados, aumenta el valor de los án- 

 gulos; ya los ángulos de los triángulos no tieuen un valor permanente; 

 y si de ahí pasamos á la Geometría del espacio el caos es mu- 

 cho mayor; el espacio no es homogéneo: existen una porción de es- 

 pacios, en los que una figura de uno de ellos no puede penetrar en 

 el otro espacio; ya no se encuentran tres dimensiones, sino una por- 

 ción que llegan al número n, siendo éste tan grande como se quiera; 

 concepción absurda porque todo lo que se aparta de las tres dimen- 

 siones deja de tener existencia real. 



Pero no paró aquí el deseo de innovar: se han creado la Geome- 

 tría de la regla y el compás, la Geometría del círculo y la Geometría 

 del triángulo. Todas ellas concepciones intelectuales nada más, 

 mejor diríamos, abortos de la inteligencia, cuyas teorías á no po- 

 nerles un dique impedirían el progreso de la verdadera ciencia geo- 

 métrica. Así la Geometría del círculo, pretende haber hallado con 

 exactitud el área de un círculo, y por consiguiente, la rectificación 

 de la circunferencia; que puede determinarse la cuadratura de un 

 círculo, que asimismo resuelve el problema de la trisección del 

 ángulo; cbos tres problemas no han sido hallados hasta el día. 



Expuestas, pues, las ideas principales de la Geometría moderna, 

 al mismo tiempo que las de la Geometría analítica en lucha científi- 

 cñ, con la primera, no quiero molestaros por más tiempo, y veamos 

 cuál es la utilidad y necesidad de estudiar la ciencia matemática y 

 en especial la Geometría. 



No existe ninguna ciencia de aplicación sin el estudio pre- 



