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come le uniche verificate in natura. La quarta parte ha un' impor- 

 tanza affatto secondaria, perchè in generale i quozienti parziali suc- 

 cessivi al primo sono eguali a 1; e ad ogni modo può agevolmente 

 trarsi, come da noi è stato fatto, dai principi stabiliti dai Bravais. 



Ma il teorema del De Candolle dimostra il punto veramente con- 

 troverso, cioè l'esistenza dell'angolo unico irrazionale? Non da questo, 

 né da altro teorema, può l'ipotesi bravaisiana attendere la sua riabi-. 

 litazione, ma dall'esame accurato e spassionato dei fatti, i quali nella 

 grande maggioranza dei casi di foglie solitarie la dimostrano come 

 unica soddisfacente, mentre l'ipotesi avversa delle divergenze razio- 

 nali distinte finisce col distruggere ogni legge e col portare il caos 

 nella fillotassi. 



I Bravais riconoscono nel sistema ordinario questa notevolissima 



proprietà, che nella serie delle divergenze secondarie (5^,, 9,^ ^^, ò\^ d^..- 

 ogni termine è la parte aurea del precedente ed inoltre che d^ è la 

 parte minore della cireonferenza divisa in sezione aurea; ma di tale 

 interessante proprietà non danno alcuna spiegazione ; altrettanto essi 

 notano poi per le divergenze secondarie della serie ricorrente 1, 3, 4, 

 7, 11, 18..., senza per altro dir nulla riguardo a quelle delle altre 

 serie ricordate, come 1, 4, 6, 9, 14, 23... e 2, 5,, 7, 12, 19, 31.,. 



Senza alcuna presunzione di integrare l'opera dei Bravais, noi ci 

 proponiamo di dimostrare tale proprietà per le serie 1, 2, 3, 5, 8, 13... 

 1, 3, 4, 7, 11... 1, 4, 5, 9, 14..., cioè per tutti i casi particolnri della, 

 serie ricorrente generale, 



a) 1, n, il -|- 1, 2 n -{- 1, 3 n 4- 2, 5 n -f- 3,... 



Le divergenze approssimate sono in tal caso 



1 1_ 2 3 5 



n ' w + 1 ' 2 w + 1 ' 3 « -[- 2 ' 5 M H- 3 "•■ 



che rappresentano le ridotte successive della frazione continua pe- 

 riodica 



^ Facendo // =: ^ — - ^ 



n r 1 '^ 1 -|- 1 



r+1 J~Ti__ 



1 4- 1 r+ 1 



1 + 1_ 1 + ... 



1... 



sarà anche y = , onde tj -{-y- z=:l e // -[- y — 1 zm 0, da, cui 



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