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P -+■ Q V~l ; esta otra M + y N V~l ; que sólo puede aplicarse á las 

 funciones reales, esto hace que se pueda cambiar algo las conclusio- 

 nes del lema preliminar y así en vez de la conclusión general que 



dice: -^ se anulará jí?/i veces (siendo ?i el grado de multiplicidad de 



la raíz x + y V"l) pasando de positivo á negativo; tenemos esta 



o o 



, . , M , , , , , 



otra, «que la relación — rr- se anulara ^íí veces, y anulándose pasara 



siempre de positivo á negativo si y es positivo, y de negativo á po- 



' o 



sitivo si y es negativo; la identidad de ambas conclusiones sería 



o 



completa si en vez de N pusiéramos y N, tanto es así que el autor 

 se vale de la demostración del teorema general que da Serret en su 

 Algebra, y para hacer ver sus conclusiones hace la sustitución antes 

 dicha. 



p]l teorema general, por esta causa sufre una modificación que 



consiste en esto: «supongamos que la relación — ;t~ anulándose con 



cambio de signo, pase de positiva á negativa K veces; y sea K el 



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número de veces que en anulándose pase de negativa á positiva la 

 diferencia SJ "^ K — K será siempre igual al doble 2 ( |i — jj. ) 



1 12 1 



del número }¡. de raíces imnginarias de coeficiente imaginario posi- 

 tivo, menos el número k- de raíces imaginarias, incluidas en el con- 

 1 



torno, pero con parte imaginaria negativa» en vez de la conclusión 



general que dice: «K — K = V será siempre igual al doble 2H- del 



1 



número de puntos-raíces ó de raíces de la ecuación 4> (z) =0 que 

 se encuentran comprendidas en el interior (.leí contorno". 



La diferencia es consecuencia de la variación que se le ha hecho 

 sufrir al lema escapando por otra parte en el primer caso el número 

 de raíces reales que pudiera tener la ecuación dentro del contorno 

 considerado, mientras que en el teorema general todas se encuentran 

 comprendidas; por otra parte la demostración está basada en las 

 mismas consideraciones ó al menos muy análogas á las de Sturm y 

 de Liouville que sirven para demostrar el teorema; creo que más 

 bien que un teorema distinto; es el mismo de Cauchy aplicado al 

 caso de una función real en esta parte el autor no hace intervenir su 

 nueva función. 



