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Como los valores que se dan á x son valores positivos; para que 

 sean positivos los primeros miembros, bastará con que lo sean los 

 numeradores de los quebrados que no son otra cosa que: 



f(x), E f(x), E f(x) , 



1 2 



Ó séase la fuhción y sus eulerianas sucesivas; y será un límite infe- 

 rior ese valor de x porque el mismo valor de x hace que sea — un 

 límite superior. 



El teorema V, se encontraría lo luismo, haciendo uso del teore- 

 ma de Laguerre; así que me parece sería á todo lo más una conse- 

 cuencia del teorema; ó una nueva manera de enunciarlo. 



El teorema I, del párrafo 17; es yo creo, el mismo teorema de 

 Budan-Fourier; el teorema dice así: 



«Siendo dada una ecuación cualquiera f (x) = O de grado m, si 

 en la serie formada por las (m + 1), funciones: 



(1) E f(x), E f(x), .... E f(x), E f(x), f(x) 



111 111—1 2 1 



sustituímos en lugar de x un cierto número p; y anotamos sola- 

 mente los signos de los resultados, obtendremos una cierta serie (p) 

 de signos; sustitu^'endo después en (1) oti'o nünjeio q > ]i por 

 x, nos resultará otra serie (q) de signos. Si p y q son positivos el 

 número de raíces reales de f (x) comprendidas entre ellos es igual ó 

 menor que la. diferencia entre las variaciones de la serie (q) sobre la 

 serie (p); si and)(js (p y q) son negativos el número de raíces nega- 

 tivas comprendidas entre ellos es también iguíd ó njenor que la dife- 

 rencia entre el número de variaciones que respectivamente presentan 

 las series (p) y (q). En amljos casos el exceso K entre la diferen- 

 cia de variaciones <le la serie (q) sobre la (p) y de la (p) sobre la 

 (q); y el número de raíces comprerididas entre p y q es un número 

 liar. 



Aplicando lo dicho anteriormente á la serie de derivados sería 

 éste el teorema de Budan-Fourier: pero se puede probar que de éste 

 se pasa al primero; que al ñn y al cal)0 viene á ser una manera de 

 enunciar el teorema mismo. 



Sea la ecuación de sienjpre: 



ni in — 1 



f(x) = a X -j- ;i X +.... + í) X + íi = o 



u 1 m — 1 111 



111 



dividamos por x . y será: 



