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3a Cuando una función intermediaria se anula para un valor 

 de X, las dos funciones que la comprenden deben para este valor de 

 X, presentar signos contrarios. 



4a La relación de la primera función Y de la nueva serie, á la 



segunda función Y ; debe cuando se anula para un valor de x, 



1 



comprendido entre a y p > a pasar siempre de negativo á positivo. 



Se advierte además que sien vez de a < p se tuviera a > p en- 

 tonces la relación pasa de positivo á negarivo y In serie de Sturm 

 gana una variación' en vez de perderla. 



Las condicione-^ que el Sr. Ci)rral impone son cuatro también, las 

 tres primeras iguales á las anteriores, v la cuarta es la siguiente: 



f(x) 

 La relación ó cociente y í/ \ de las dos primeras funciones de 



1 

 la serie pasa de positivo á negativo para un valor positivo de x que 

 la anule; y de negativo á positivo si x es negativa y suponemos que 

 la variable crece desde a á p > a. 



Esta última condición es una variante de la 4^ anterior, pues 



multiplicándola por y considerando la fi'acción 7^ 



X - ......... _^y^ ^^^^ 



se hubiera tenido que si x es positivo la relación pasaría de negativa 

 á positiva, y si x hubiera sido negativa se tendrá: — — 



X E.f(x) 



1 



de estos dos factores el primero positivo si x es negativo, y el se- 

 gundo pasa de negativo á positivo; luego en este caso también se 

 cumpliría la cuarta condición de antes; si impusiéramos esto la serie 



sena: 



f(x), — X E f(x), X', X'....X' . 



1 1 2 n 



las cuales demostrarían el teorema de Stui'm. 

 Por otra paile, podemos poner 



m m— 1 



f(x), = a X + a X + • • - • 4~ íi • 

 ü 1 m 



en la forma 



f(x) " • 1 ^/^""^ 

 «!>(—)= — '^:^ y la derivada sería *•* (f) "^^ j^^_^ sabemos 



x X 



*^ í ^^ p/ \ 



que la relación — — ^—^ pasa de positiva á negativa 



^■^1^ — x.E^f(x) 



