ETUDE SUR PASCAL 7 



Tout nombre de la forme : 



2^" + 1 

 est un nombre premier. 



Il est fâcheux que Fermât n'en ait pas poussé la véri- 

 fication un peu plus loin. Il aurait reconnu que sa pro- 

 position est fausse. 



Euler a démontré que 2^^ -}- 1 n'est pas un nombre pre- 

 mier. 

 En efïet : 



2"^2 = 4.294.967.296. 



Et ce nombre augmenté de l'unité est divisible par 641 : 

 4.294.967.297 = 6U X 6.700.417. 



Lettre de Pascal à Fermât, 29 juillet 1654. — « Je vous 

 supplie de me mander votre avis sur cette démonstra- 

 tion : 



« Je pose le lemme que tout le monde sait, que la 

 somme de tant de nombres qu'on voudra de la progres- 

 sion continuée depuis l'unité, comme 1, 2, 3, 4, étant 

 prise 2 fois, est égale au dernier 4 multiplié par le pro- 

 chain plus grand 5 ; c'est-à-dire que la somme des 

 nombres contenus dans A, étant prise 2 fois, est égale 

 au produit de A par A -f- 1. » 



Cela revient à dire que la somme des termes de la 

 progression arithmétique : 



1-1-2 + 3+ +a 



est : a{a -\- 1) 



2 



La suite de la lettre de Pascal est en latin, comme il 

 faisait souvent, car, disait-il, le français n'y vaut rien. 



En voici la traduction : 



« La différence de 2 cubes consécutifs diminuée de 

 l'unité est le sextuple de la somme de tous les nombres 

 contenus dans le plus petit. 



« Soient 2 nombres consécutifs, R. S. Je dis que 



R3 _ S3 — 1 



