8 REVUE SCIENTIFIQUE DU BOURBONNAIS 



est égal à la somme des nombres contenus dans S. En 

 effet, si S est appelé A, R est A + !• Donc le cube de 

 R ou A + 1 est A3 -f SA^ + 3A + 1^. Le cube de S ou 

 A est A^. Leur différence est 3A- -(- 3A + V, c'est-à- 

 dire R3 — S'^. Donc si on retranche l'unité ; 3A- -|- 3A 

 est égal à R3 — S^ — 1. Mais le double de la somme des 

 nombres contenus en A ou S est d'après le lemme pré- 

 cédent A multiplié par A -f- !> c'est-à-dire A^ -|- A. 

 Donc le sextuple est SX- + 3A. Mais 3A2 + 3A égale 

 R3 — s^ — 1. Donc R.^ — S'^ — 1 est égal au sextuple 

 de la somme des nombres contenus en A ou S. Ce qu'il 

 fallait démontre. » 



Tout cela est très juste, mais très long. 



En 3 lignes, nous disons aujourd'hui : 



ia-^lf-a^ =3a2 + 3a + l 



(a + 1)3 - a^— 1 = 3a(a-i-l) 



(a + 1)3 _ a3 _ 1 = 6 ^l^L±i] 



C. Q. F. D. 



Lettre de Fermât à Pascal, 25 septembre 1654, — Fer- 

 mat envoie à Pascal l'énoncé de plusieurs propositions 

 qu'il a démontrées, en lui disant : Vous me permettrez 

 d'être concis et de me faire entendre seulement à un 

 homme qui comprend tout à demi-mot : 



« 1° Tout nombre est composé d'un, de 2 ou de 3 

 triangles : d'un, de 2, de 3 ou de 4 carrés ; d'un, de 2, de 

 3, de 4 ou 5 pentagones ; d'un, de 2, de 3, de 4, de 5 ou 

 6 hexagones, tt à l'infini. Pour y parvenir, il faut dé- 

 montrer que tout nombre premier qui surpasse de 

 l'unité un multiple de 4 est composé de 2 carrés, comme 

 5, 13, 17, 29, 37, etc. ; 



« Etant donné un nombre premier de cette nature, 

 comme 53, trouver par règle générale les 2 carrés qui le 

 composent. 



« 3" Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un 

 multiple de 3, est composé d'un carré, et du triple d'un 

 autre carré, comme 7, 13, 19, 31, 37, etc. 



