ÉTUDE SUR PASCAL li 



Mais il n'emploie pas la notation algébrique. Il dé- 

 montre les relations ci-dessus, plutôt par des exemples 

 que par une méthode générale. 



§ IV. Questions diverses 



I. Somme des mè)ncs puissances des termes d'une 

 progression arithmétique. 



Pascal résout cette question par un exemple. Cher- 

 chons, dit-il, la somme 



53 _|_ 83 4- 113 _j_ 14:^^ 



Voici à peu près la suite de ses calculs : 

 174 ^ 17-1 _ 14.) _|_ 14/. _ 11', ^ iii _ 8^ -]- 8' — 5'' +5^ 



Or 17' = (14 + 3)'-. 



17^ = 14'' -f d2. 14-^ + 54. 142 + 108. 14+81. 



Donc 17^ — 14'' = 12. 14^ + 54. 14^ + 108. 14 + 81. 



W — 11'' = 12. 113 + 54. 112 + 108. 11 ^81. 



11'' — 8'' = 12. 8^ + 54. 82 + 108. 8 + 81. 



8^ — 5^ = 12. 5-' + 54. 52 + 108. 5 + 81. 



Additionnons membre à membre les quatre dernières 

 égalités ci-dessus : 



17^ — 5^ = 12 (5^^ +8' + 11'* + 14^) + 54 (52 + 82 + 11^ 

 + 142) _[_ 108 (5 + 8 + 11 + 14) + 4 X 81. 



D'où l'on tire 5^ + 8^ + 11» + 14^ = etc. 



C'est à peu près la méthode usitée de nos jours. Mais 

 l'emploi des lettres rend les calculs plus simples et les 

 formules plus générales. L'algèbre n'était pas assez 

 développée à cette époque. 



Pascal applique ensuite sa règle à la recherche de la 

 somme des puissances semblables de la suite des nom- 

 bres naturels commençant par 1. Mais il ne peut donner 

 de formule générale. 



Combien sont plus commodes nos formules algé- 

 briques ! 



