172 MUSEO NACIONAL DE H. NATURAL DE BUENOS AIRES 



y por consiguiente para el integral entre los límites o y t: 



R 



at = 2 . - k. m. . p, . [dr, . ^ ( yr,^ + r,^ + 2r, r, - l'r,^ + r,^ - 2 r, r, ) 

 o 



La diferencia de las dos raíces puede expresarse en la forma 

 (r, + r,) - (r, - r,) = 2r, 



o también 



(r, + r,)-(r, -r.) = 2r, 



pudiéndose valer de la primera para ro<ri y de la segunda para 

 r2> Tj. De acuerdo con esto se efectúa la integración entre los límites O 

 y R en dos partes, cuya primera abarca para ro<ri la esfera interior 

 desde el centro hasta el radio r^, mientras que la segunda debe ex- 

 tenderse, para r2>ri, sobre la zona desde el radio r^ hasta el radio R. 

 Tenemos, por lo tanto: 



at ^ 2 . t: . k . rHi . Pj 



r2 r.,^ ,' 



/^dr, +/2r,d 



at = 2 . - . k . m, . p, . ( R^ - Y 



Todas las partículas m^ desde la distancia r^ al centro forman en 

 conjunto una esfera hueca, cuyo radio interior es r^. El radio exterior 

 es r^ + dr^. Siendo el espesor dr^ infinitamente pequeño, denomina- 

 mos esta esfera hueca «elemento esférico», cuya masa puede ser ex- 

 presada por la ecuación: 



2m, = 4 . r^- . " . Pj dr, 



El trabajo mecánico total, que resulta por la atracción de este «ele- 

 mento esférico» con el radio r^ y la densidad p^ sobre todos los 

 puntos de todos los otros elementos esféricos, que tienen la densi- 

 dad p 2 y que forman en conjunto el cuerpo total de la esfera, es por 

 consiguiente: 



2at = 8.77^k.p,.p,. (R^r,= -'^'')d^, 



