RAÍCES DE UNA ECUACIÓN NUMÉRICA 23 



do elegante y sencillo el famoso teorema de Stnrm. Suponemos al 

 lector iniciado en esta doctrinas, donde al tratarse de las dos curvas 



«j.(xy) = +(xy)=0 



se consideran los puntos de entrada E(«|), \|» ) de la curva <1> en >|/, así 

 como también los puntos de salida S (<|>, >!/). Cuando se tiene una ter- 

 cera curva f = O, entonces los puntos de intersección entre <|> y >|» 

 pueden ser E (<|>; ^í, f ) o S(4>;<I', f); los primeros definidos por la 

 condición 



[«j., 4,].!= f4>'.4''— <l>'-4''Vf. < 



\ X y y X / 



O 



y los segundos por la desigualdad contraria. 



El teorema fundamental del Algebra, afirmando que una ecuación 

 de grado n tiene n raíces, recibió de Gauss tres demostraciones dife" 

 rentes, la primera de las cuales fué expuesta detalladamente en su 

 tesis de Doctorado (1790); la idea que le sirve de base es, aunque 

 en otra forma, la misma que utilizó después Kronecker para estable- 

 cer el concepto de característica del sistema de funciones f , <j>, t|/. Su- 

 poniendo Gauss que todas las raíces de F (z) son diferentes, es decir 

 que F(z) y F'(z) no admiten un máximo común divisor, llegó a 

 demostrar que, tomando por curva f una circunferencia de radio su- 

 ficientemente grande, la característica de las tres funciones f, «}>» +, 

 estas dos últimas definidas por la relación 



F (z) = <}> (x y) + i. ^(x y) » z = x + i. y 



puede determinarse y es precisamente igual al grado n de F(z). 

 Consecuencia del razonamiento de Gauss es que el círcido f estando 

 dividido en dos semicírculos por el eje de las ordenadas (y), cada uno de 

 estos contiene n puntos E (f; <j>, v|/, ) si n es par, y n puntos E (f ; ^, ^) 

 si n es impar. 



Toda forma cuadrática de n variables puede descomponerse, de 

 una infinidad de maneras, en una suma de ir cuadrados positivos y 

 V cuadrados negativos de funciones lineales independientes. Los 

 números w, vy p= n — ir — v son llamados los números caracterís. 

 ticos de la forma cuadrática. Considerando la cadena de menores 

 principales 



R R R .... R R = 1 



II n— 1 n— 2 I O 



del discriminante R = R de la forma dada, ir es igual al número de 

 permanencias y v al número variaciones que presenta dicha serie. 



