RAÍCES DE UNA ECUACIÓN Nr]MÉRlCA 25 



En la excelente obra "Traite (l'Algél)re Superieure" deH. Weber 

 se hace una breve exposición del método elegante seguido por Hur- 

 witz para hallar el brillante enunciado anterior. Como dicho pro- 

 cedimiento se funda en el razonamiento ideado por el mismo Hur- 

 witz al encontrar el número exacto de raíces reales de una ecuación 

 por medio de una forma cuadrática especial H, claro es que podre- 

 mos tratar la actual cuestión adoptando un procedimiento correlativo 

 al de Hurwitz, j^a que según demuestro en el § 29 de mi Obra existe 

 oivA forma cuadrática C, distinta á la anterior H, que también resuel- 

 ve de un modo sencillo dicho problema. 



La ecuación dada 



TI II— 1 n— 2 



F(z) = a z + a z + a z + . . . . + a z + a = O 



1 -1 n— 1 a 



es de coeficientes reales. Haciendo la sustitución. 



X = i. y = y. V-1 

 es fácil comprobar que 



F(i.y) = i". {^-'■^'.,) ■ 



Cuando la variable z toma la forma compleja 



z = X -1- i. y 



entonces la función F (z) se descompone del modo siguiente - 



F(z) = F(x + i. y) = <t.(xy )+ i. 4'(x y) 



siend© 4» y + funciones reales de las variables x, y. Tenemos, por 

 tanto, para el caso presente 



í <t> (Oy) = — F <!/ (Oy) = ^^ F si n es un número par 

 ^''^ ) 4» (Oy) = ± F + (Oy) = ^ F si n ,, ,, ,, impar. 



Las funciones F y F no ¡meden anularse siimdtáneamente para el 



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mismo valor de la variable real y, pues si así ocurriese resultaría que 

 F (z) tendría una raiz i. y puramente imaginaria, lo cual es contra- 



