26 JOSÉ ISAAC DEL CORRAL 



vio á la liipótesÍH lieclia de que todas las raíces de F (z) tienen parte 

 real negativa. 



Trazando un círculo de radio suficientemente grande en repre- 

 sentación de la función arbitraria/, claro es que todas las raíces de 

 la ecuación dada tendrán que estar en el semicírculo de la izquierda, 

 único que tiene los valores reales de x negativos. Encerrados así los 

 puntos raíces de la ecuación, podremos tomar x)or curva / las líneas 

 que limitan dicho semicírculo izquierdo, comprobándose entonces 

 que sobre este contorno mixtilineo existen 2n puntos E ( f ; «i> , + ) y 

 2n puntos E ( f ; vj' , <l> ) ya que la ecuación F(z)^0 tiene n raíces. 



Demuéstrase en Algebra que cada una de las dos semicircunfe- 

 rencias en que el eje vertical cartesiano de las y divide al círculo f 

 contiene 



n puntos E ( f ; <|) , x|/ ) si n es número par, 

 n puntos E ( f ; \|/ , <!> ) si /i es número impar. 



Resultará entonces, según lo establecido en el párrafo anterior, 

 que por estar todos los puntos raíces de F(z) contenidos en el semi- 

 círculo izquierdo, el diámetro vertical contendrá 



n puntos E (f ; 4>, ^) si ?i es número par, 

 n puntos E (f ; t|/, «J>) si n es número impar. 



Teniendo en cuenta (2) el valor que en cada caso pc^seen las fun- 

 ciones <}> y ^, clai-o está que el diámetro verticcd contendrá siempre n 



puntos raíces deF = 0. Como, por otra parte, F ec de grado n, de- 

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duciremos entonces, que F (y) y su derivada F'(y) no pueden 



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anularse simultáneamente; es decir, que F (y) y F'(y) son funciones 



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primas entre sí. 



Los puntos E (f ; 4>> +) están caracterizados i)or la condición 



U, .1>].^' < O 



[f, 4>] =f'. «I»' — f ■<!>' = «!>' 



ya que sobre el diámetro vertical se tiene f = x = 0. Como además 

 n es par, poniendo por ^ y 4» sus valores (2), resultará 



— F'(y). F (y) < O (3) 



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Cuando n es impar, los puntos contenidos en el diámetro verti- 

 cal son E (f; ^, 4>) los que están definidos por la desigualdad 



