RAÍCES DE UNA ECUACIÓN NUMÉRICA 37 



ecnaeióii f(z') =F(^yJ. Dice, en efecto, esta proposición que todos 

 los menores principales del determinante (8) son positivos, ya sea 

 n par o impar, cuando todas las raíces de la ecuación dada tienen 

 parte real negativa; y fa'cil es observar que las desigualdades relati- 

 vas a los menores xirincipales de (12) y (8) compuestos de un nú- 

 mero par de columnas son idénticamente iguales entre ^í, mientras 

 que son distintas las desigualdades correspondientes a aquellos me- 

 nores que en ambos determinantes, (12) y(8), están formados de un 

 número impar de líneas. Esto no obstante, tan ciertas son unas con- 

 diciones como otras, pues lo que prueba tal desacuerdo es que el teo- 

 rema IV es una proposición distinta a la de Hurwitz, con la cual 

 tiene una íntima relación por cuanto de las desigualdades expresa- 

 das por el determinante (12) pueden deducirse las que caracterizan 

 el enunciado de Hurwitz. Resulta por tanto, dicho brevemente, que 

 el teorema de Hurwitz es corolario de nuestra proposición IV, según 

 no es difícil comprobar. 



Tanto el teorema II como el IV expresan condiciones para que 

 las raíces de la ecuación dada tengan todas paí-íe real negativa. Caso 

 de que se desee encontrar los requisitos a que habrán de satisfacer los 

 coeficientes de la ecuación para que todas sus raíces tengan parte real 



positiva hasiavá efectuar en F (z) =0 la transformcción z = — z 



] 

 aplicando a la nueva ecuación 



n n— 1 n— 2 n— 3 



F( — z )=0=±azTaz ±az Taz ± . . . . 

 1 111 2 1 :í 1 



3 '2 



— a z + a z — a . z + a 



n— ;> 1 n — 2 1 n— 1 1 n 



los teoremas II y IV. Así resultará; 



V.' — Para que la ecuación de grado par F(z) = O no tenga más que 

 raíces con parte real positiva, será condición necesaria y suficiente que el 

 coeficiente a y los n primeros menores principales A , A , A .... A 



_n ' 1 2 3 n 



del determinante 



-a a O O O O 



11 — 1 11 



— a a — a a O O 



n— 3 n— 2 n — 1 n 



— a a — a a — a a 



II— '> 11—4 n— 3 n— 2 n — 1 n 



— a a — a a — a a , 



n— 7 n — 6 n— 5 n— 4 n— 3 n— 2 



sean todos positivos. 



