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JOSÉ ISAAC DEL CORRAL 



VI. — Para qve la. ecuación de grado impar F(z) ^= O no tenga v)ás 

 que raíces con paiie real positiva, es condición necesaria g Mif dente cpie 

 en la serie formada por el coeficiente ( — a ) y los n primeros menares 



n— 1 



principales A , A , A .... A del determinante 



1 2 3 n 



— a 



— a 



a — a 



11—4 n— 5 



cada dos términos consecutivos sean fdternadamente jMsitivos negativos. 



Observación. — El razonamiento seguido ¡xa la establecer las propo- 

 siciones II y IV^ supone implícitamente que la ecuación F(z) = O 

 no admite raíces múltiples, pues con tal Iiipótesis es como se esta- 

 blece en Algel>ra que sobre la circanferencia f de radio suficiente- 

 mente grande existen 3n puntos E(f; <)>,+) y otros Bn puntos 

 E(f; ^, ^ ) . Los teoremas II y IV quedan j^ues demostrados para 

 el caso en que el descriminante de F(z) es diferente de cero. Vea- 

 mos ahora cómo puede salvarse tal restricción a fin de que ambos 

 enunciados, "al igual que los V y VI, sean generales. 



El razonamiento ]o liaremos sobre el teorema II, j'a que puede 

 adaptarse íntegramente para el IV. 



Si los determinantes del teorema II son todos positivos, la forma 

 cuadrática C será positiva 3' por consecuencia las funciones F (y) y 



F (y) no podrán tener raíces comunes; resultará, pues, que la ecua- 

 ción F(z) ^ O no admitirá raíces que como i y sean puramente 

 imaginarias sin parte real alguna. Además F(z) ^ O no puede te- 

 ner raíz con parte real positiva; pues de lo contrario se podría hacer 

 variar los coeficientes de F en cantidades bastantes pequeñas para 

 que los menores del determinante (8) permaneciesen positivos, para 

 que F(z) = O admitiese siempre raíces con parte real positiva y 

 para que la nueva función Fno tuviese ninguna raíz múltiple. Re- 

 sultados que están en contradicción con el teorema II. 



