RAÍCES DE UNA ECUACIÓN NUMÉRICA 



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Recíprocamente, si F(z) = O no tiene más que raíces imagina- 

 rias con parte real negativa, ninguno de los menores del determi- 

 nante (8) puede ser negativo. Será preciso demostrar que haciendo 

 esta suposición sobre las raíces de F(z), ninguno de dichos determi- 

 nantes puede ser cero. Admitamos, por ejemplo, que 



A = 



4 



O 



o 



11—7 n— o n — 5 n — 4 



sea el primer menor nulo. Sustituyamos entonces F por F' = F + 

 í. *; se podrán determinar los coeficientes arbitrarios de ^ de tal 

 modo que para valores positivos o negativos de € suficientemente 

 pequeños, la función F no tenga ya raíces iguales, y que las partes 

 reales de estas raíces permanezcan negativas. A la función F' co- 

 rresponderá el menor A que ordenaremos en su desarrollo con re- 



4 



lación a las potencias de «; el coeficiente del término en e no es 

 idénticamente nulo; por tanto, se podrá todavía elegir el signo de 

 «de modo que A' sea negativo. Tal resultado está en contradic- 



ción con el teorema II. 



C — Ejemplos. 



19 — Sea la ecuación de segundo grado 



2 



ax-f-ax + a=0 



12 



á la cual se quieren aplicar los teoremas encontrados para expresar 

 las condiciones inherentes al caso en que todas las raíces tienen par- 

 te real negativa. La proposición II da 



a .a >0 



1 o 



o sea a^u a ^ u a>0 



que son las desigualdades necesarias y suficientes que se buscaban. 

 Este resultado puede obtenerse también de la conocida fórmula 



\ a — 4 a .a 



2a 



por medio de un sencillo análisis, que no insertamos por brevedad. 



