45 Berechnung der Hydrograph. Tabellen und Diskussion der Ergebnisse von Dr. Martin Knudsen. 167 



begnügen können. Eine einfache Funktion, die besser genügte, wurde nicht gefunden. Mittels 

 der in der Tabelle angeführten Werthe von A( für T gleich 0, 2, 4, 6 ergaben sich 

 ^^ X 10' = + 24-164 T— 2-4591 r- + 0-1341 T' 

 und ß/ X 10« = + 57-795 T— 1-415 r- 

 Werden diese Werthe für A^ und B^ in (2) eingesetzt, erhalten wir eine einzige, allen Beob- 

 achtungen jedoch nur annähernd genügende Formel, die deshalb nur als vorläufiges Hilfsmittel 

 benutzt werden kann. 



Wir setzen 

 « = (0 + 24-164 T- 2-4591 T' + 0-1341 r) "-^^^ - (0 + 57-795 T- 1-415 P) ^"'^ ~i oooqÖo^ ""^ ^^^ 

 und stellen uns die Aufgabe, eine Formel derselben Art zu ermitteln, in der Af und B^ als 

 Funktionen von T genauer bestimmt sind, und wollen dabei so verfahren, dass wir nicht — 

 wie bisher — zweierlei Ausgleichungen, sondern nur eine vornehmen. Der erste Versuch 

 bestand nämlich darin, von allen Beobachtungen diejenigen, die o-^, gemeinsam haben, aus- 

 zuwählen, t als Argument zu betrachten, ff( als Funktion von t zu ermitteln und endlich in 

 den gefundenen Formeln die Koeffizienten auszugleichen, wobei o^ als Argument betrachtet 

 wurde. Der zweite Versuch, zu dem ich' durch die Dichtigkeitsbestimmungen mittels des 

 Pyknometers geführt wurde, bestand darin, ff, als Argument zu betrachten, "t als dessen Funk- 

 tion für jede Temperatur zu ermitteln und darauf in der gefundenen Formel die Koeffizienten 

 auszugleichen, wobei t als Argument betrachtet wurde. Es zeigte sich, dass letzteres Verfahren 

 ersterem bei weitem vorzuziehen war, aber genügen konnte dieses auch nicht, weil die Werthe 

 von A( und Bf eine so unsichere Bestimmung der Beziehungen zwischen diesen Grössen und 

 der Temperatur lieferten. 



Es liegt daher nahe, die Ausgleichungen in der Weise auszuführen, dass alle in Tabelle I 

 enthaltenen Werthe als gleichwerthige Beobachtungen betrachtet werden, mittels deren wir in 

 einer Formel ähnlicher Gestalt wie (3) die Koeffizienten finden wollen. Da die Formel 7 Kon- 

 stanten enthält und 97 Beobachtungen vorhanden sind, würde die Berechnung also eine sehr 

 umständliche sein, wenn die Methode der kleinsten Quadrate direkt auf die in Tabelle I be- 

 findlichen Beobachtungen angewandt würde. 



Die Formel, nach der wir die Ausgleichung ausführen wollen, lautet: 



ff„ - «T/ - (2,, -^St) = ia + bT+cr- + dr) K - -„) - (ß, + *, 7- + c, r) (<r„ - -,) (cr„ + -„) (4) 



Für diese Grösse giebt Tabelle I eine Reihe von Werthen, die anzusehen sind, als ob sie alle 

 gleiches Gewicht hätten. Dividirt man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durch ff, — ^„, 

 so erhält man eine neue Reihe von Grössen, die nun verschiedenes Gewicht haben, je nach 

 dem Werth von ff,, — -,^,. Um der Ausgleichung willen brauchen wir indessen nicht das Gewicht 

 mit besonders grosser Genauigkeit zu kennen. Wir dividiren deshalb <?„ — ^„ durch 5 und 

 setzen das Gewicht gleich der dem Quotienten nächsten ganzen Zahl. Die in Tabelle I 

 enthaltenen Beobachtungen, dividirt durch den genauen Werth von ff^ — ^^, gelten also nun 

 für T gleich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und für eine Reihe Werte von ff^ + -^ mit vielen Dezimal- 

 stellen. 



