5 V. Hensen, Zur Feststellung der Unregelmäßigkeiten in der Verteilung der Planktonten. 195 



fallenden Fehler der Zeichnung, die schwer vermeidlich sind. Die Umfrage bei Fachmathematikern, ob 

 entsprechende Gleichungen vorhanden seien oder sich bilden ließen, hatte negativen Erfolg. Unter erheb- 

 lichem Zeitverlust ist es mir doch geglückt, eine dem Zweck exakter Rechnung genügende einfache und 

 elementare Gleichung für jede Größe des Netzeingangs zunächst für unbewegte Planktonten aufzustellen. 

 Die Formel lautet: 



^f. = t j^arc (X, ± x„) ^ sin (x, i x„)] + ^ • sin (n • 30"); = | + ^ [arc (zi ± z„) -^ sin (z, ± z,,)] ^ ^ sin (n + 1) 30°. 

 To n= 1,2 oder 3 v^= r^ 



Es genügt, die Flächengrößen innerhalb eines der 12 Dreiecke, die das Sechseck aufbauen, zu 

 untersuchen, denn das rechts neben dem untersuchten Dreieck in Fig. 2, S. 196 liegende Dreieck ist das 

 Spiegelbild des untersuchten Dreiecks. Alle anderen Dreiecke wiederholen für die rings um das Zentrum 

 des untersuchten Sechsecks symmetrisch liegenden Punkte dasselbe Verhalten, das das untersuchte Dreieck 

 ergeben hat. 



Die Ordinate y gibt die Fläche an, innerhalb deren das Netzzentrum durchgehen muß, um den 

 Punkt fi zu fangen, wenn der Radius des Netzeingangs die Größe der Variablen r oder v hat. Wächst der 

 Radius des fangenden Netzeingangs über die Größe c^, hinaus, so wird der Punkt /< stets gefangen 

 werden, r^ bedeutet die Länge des Radius, die gerade genügt, um die nächstgelegene Ecke des Dreiecks 

 (Fig. 2) zu erreichen, r^ erreicht gerade die mittlere und v^ die am meisten entfernte Ecke des Dreiecks. 



Für y^, liegen stets zwei Gleichungen vor. Die Gleichung für r gibt den Kurventeil der Fig. 3, S. 197, 

 der konvex gegen die Abszissenaxe ist und hat steigende Differenzen, die Gleichung für v gibt eine Kurve, 

 die konkav gegen die Abszissenaxe verläuft und fallende Differenzen ergibt. Der Wendepunkt liegt bei r^, 

 In Fig. 3 ist die Lage der Wendepunkte durch die beigeschriebene Zahl des zugehörigen Punktes /t be- 

 zeichnet worden. Die Flächen für y^ sind ein Dreieck und ein diesem aufgesetzter Kreisabschnitt Fig. 2, 1. 

 Die Flächen y^ für den Radius v sind ein Viereck und der Kreisabschnitt Fig. 2, 2. Die Gleichung v gibt 

 für dies Viereck eine indirekte Berechnung. Die außerhalb des Vierecks liegende Dreieckfläche wird be- 

 rechnet und von der Fläche des ganzen Dreiecks plus bezüglichen Kreisabschnittes subtrahiert. Das ganze 



Dreieck hat den Wert ^, wenn mit q der Radius des in das Sechseck eingeschriebenen Kreises bezeichnet 



wird. Den Radius des umschriebenen Kreises nehme ich = I, dann hat q den Wert = 0,8660254. Um 

 den Inhalt der bezüglichen Dreiecke zu finden, müssen deren Katheten a und b, beziehungsweise d und e 

 halbiert und mit dem Sinus von 30" oder 60" oder 90" multipliziert werden. 



Als Beispiel des Verfahrens möge die Bestimmung von y für den Punkt 20 (Fig. 2) ausgeführt 

 werden. Um die Werte r^,, r^, und v^ zu finden, dienen die Hüfsdreiecke A F B, A D B und AGB. 

 Die Katheten dieser rechtwinkligen Dreiecke dienen zur Berechnung von tga, \gß, tgy. Aus den Formeln 



''o = — ^ r„ = — 2— vm = — — ergeben sich die gesuchten Längen von r„, r„ und !'„. 



cos a cos ß cos 7 o m rn 



Um die Seiten a, b, d, e der Dreiecke im Sechseck zu finden, dient die Sinusregel. Wir haben 

 dementsprechend die Proportionen: 



r : ro = sin (90 + a) : sin &\. r : r^ = sin (150" + a) : sin »n 

 V : "m = sin y: sin d\ v: i'^=^ sin (30 -;- y) : sin öu 



90" - (a -f- d,) = X, 30" — (a + ^„) = x,f. 180" - (y -f d,) = Zi. 150" — (/ + (i„) = z„. 

 Endlich folgt: 



sin 9-1 : sin xi = r^, : a. sin ^-n : sin Xn = r,, : b. sin öi : sin zi = c, 

 Die zwei Punkte der Kurve ergeben sich also zu: 



r- r , , . , ,1 , a.b. sin 60" 



Yr = "2^ [arc (xi — xu) h- sin (xi — Xn) 1 + - 



2 



Q , ('- r ,, , , , „:„/,,, n1 d . e . sin 30" 



"'" " " — " ■ 2 



25* 



y.. = :|- + ^ [arc(zi + zi,) -^ sin (zi + z,i)J 



