166 V. Hensen, Ergänzungen und Berichtigung etc. 14 
Dazu genügt es zu zeigen, dass die Ableitung von x nach q nicht nur am Anfang und Ende des Intervalles, 
in dem q variirt, sondern in dem ganzen Intervall beständig negativ ist. Nun ist, wie Gleichung (8) zeigt, 
der Nenner dieser Ableitung, nämlich f 
(q —Auı-9).q.log (q)” 
beständig positiv, mithin kommt alles darauf an, das Verhalten des Zählers 
(10) (eg! + A) q log (q) — (q’—Au-9) log (Q’— Au) = g(Q) 
zu untersuchen. Nun ist 
9(90) — (Cgo°" + A) gu log (go) 
negativ, während 
ale 
wird. Gelingt es also nachzuweisen, dass die Ableitung von „(q), wenn q von q, bis 1 wächst, 
beständig positiv ist, so nimmt dabei „(gq) selbst beständig wachsend der Reihe nach alle Werthe 
zwischen g(q,) und y(l) an, ist also beständig negativ. Dieser Nachweis lässt sich aber durch folgende 
Ueberlegung erbringen. 
Indem man eine bei der Bestimmung von 
dig 
ai 
bereits durchgeführte Rechnung benutzt, erkennt man, dass 
9 (q) = (*q + A) log (q) — (cq!+ A) log (Aug) 
ist, folglich hat man 
I eere al. 
Wenn also y(q) für einen Werth von q zwischen q, und 1 negativ wäre, so müsste die Gleichung 
(= 0 
mindestens eine Wurzel haben, die ebenfalls zwischen q, und 1 liegt. Das ist jedoch unmöglich, wenn 
nämlich q von 1 verschieden ist, lässt sich die Gleichung 9°(g)=0 umformen in die Gleichung 
Sara or (Ne) _ R 
11 = 
“ Sn log (q) 
Es ist aber, wie man sofort erkennt, sobald c grösser als 1 ist: 
a + A 
ar! —A <c, 
dagegen 27,6, 
denn man hat nach Gleichung (3): a <.CE, 
während q ein positiver echter Bruch ist. Mithin führt die Annahme, dass die Gleichung (11) für einen 
Werth von q zwischen q, und 1 identisch erfüllt ist, auf einen Widerspruch, und es ist daher, wie behauptet 
wurde, g (g) stets positiv und y (q) stets negativ. 
6. 
Aus dem Vorhergehenden ergiebt sich für den Verlauf der Funktion q von x folgendes Bild. 
Damit q Werthe zwischen O0 und 1 annehmen kann, mussx>c+A sein Fürx—=c-+A wird 
q=1]1. Wächst x über diesen Werth hinaus, so nimmt q beständig ab und nähert sich 
asymptotisch dem Werthe q,, der als die einzige Wurzel der Gleichung 
g Allg) — 0 
zwischenq=0 und q=| erklärt ist. 
Setzt man im Besonderen, wie früher: 
A=%2, c= il), 
so ergiebt sich für : 
x — 12,00 12,23 12,49 12,79 13,14 13,56 14,07 14,71 15,51 16,58 18,09 20,49 25,63 - oo 
1,00 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,90 0,89 0,88 0,872367... 
| 
