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considérée comme fonction des coordonnées du point B jouit des 
propriétés suivantes: 
1° Cette fonction vérifie, dans tout le domaine (D) sauf en A, 
l'équation aux dérivées partielles suivantes: 
À G— m? G = 0. 
20 La somme: 
GAB m) + log r 
est continue dans le voisinage du point A. 
3° Le point A étant fixe à l’intérieur du domaine (D), la fone- 
tion @ (A, B, m?) tend uniformément vers zéro lorsque la plus 
courte distance du point B à la frontière (S) du domaine (D) tend 
vers Zéro. 
La fonction G (A, B, m?) que nous venons de définir sera la 
fonction de Green relative à l'équation (1) et au domaine (D). 
Nous adopterons la même définition pour la fonction de Green 
relative au domaine (D’) extérieur à la ligne ($) en la complétant 
toutefois au moyen de la condition additionnelle suivante: lorsque 
le point B s'éloigne indéfiniment, le point 4 restant fixe à l’inté- 
rieur du domaine (2) la fonction de Green @ (A, B, m?) reste 
bornée }). 
$ 3. La fonction de Green existe; la définition du paragraphe 
précédent la détermine sans ambiguïté; cette fonction ne prend, 
à l’intérieur du domaine auquel elle se rapporte, que des valeurs 
réelles et non négatives; elle admet une dérivée déterminée par rap- 
port à la normale à la ligne (S); elle est symétrique par rapport 
aux deux points dont elle dépend; enfin la fonction de Green est, 
à l’intérieur du domaine auquel elle se rapporte, une fonction ana- 
lytique des coordonnées de ces deux points?). Bien que les propo- 
sitions précédentes soient classiques, au moins en ce qui concerne 
la fonction de Green relative à l'équation de Laplace, il ne semble 
pas que l’on puisse les regarder toutes comme démontrées rigoureu- 
1) On verra un peu plus bas qu’en réalité, dans les conditions considérées, 
la fonction @ (A, B, m?) tend uniformément vers une constante qui n’est diffe- 
rente de zéro que pour m — Ü. 
2) Voir les travaux de M. Liapounoff, M. Korn, M. Stekloff, M. Lauricella 
et les miens publiés dans divers recueils depuis 1898. 
