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tes pour la fonction de Green @ (A, B, m?) et désignons par u (B) 
leur différence. La fonction # s’annulera sur (S) et vérifiera l'équation 
Au — m?u —0 
dans tout le domaine (D) sauf peut-être en A. En vertu du Lemme I 
elle veritiera en réalité l’équation précédente même en A; elle sera 
donc nulle identiquement. Done. dans le cas du domaine intérieur, 
la définition du $ 2 ne laisse subsister aucune indétermination. 
Passons au domaine extérieur (D’). Soit # (B) la différence de 
deux expressions différentes de la fonction de Green @ (4, B, m?). 
La fonction u (B) serait bornée, elle s’annulerait sur (S) et elle vé- 
rifierait l'équation 
Au— mu —0 
dans tout le domaine (D’) sauf peut-être en A. Il résulte du Lemme I 
que la fonction w verifiera en réalité l’équation précédente même 
au point À. D'autre part le Lemme II nous apprend ceci: lorsque 
le paramètre réel m est différent de zéro, la fonction u (B) tend 
uniformément vers zéro dans le cas où le point B s'éloigne indé- 
finiment; lorsque au contraire le paramètre m est nul, la fonction 
u est régulière à l'infini. Il résulte de tout cela que la fonction u 
est nulle identiquement. 
Il est done démontré que la définition du $ 2 determine la fone- 
tion de Green complètement. 
Faisons remarquer que l’on tire immédiatement des considera- 
tions précédentes la justification de la note de la p. 805. 
s 6. La fonction de Green ne prend que des valeurs réelles et 
non négatives. Les expressions de cette fonction trouvées au $ 4 
sont réelles. Done, eu égard au $ précédent, la réalité de la fone- 
tion de Green est parfaitement évidente. Je viens de dire que cette 
fonction ne prend jamais de valeurs négatives. (Cette proposition 
peut être précisée. Observons dans ce but que, dans les hypothèses 
où nous nous sommes placés, le domaine auquel se rapporte la fone- 
tion de Green peut n'être pas d’un seul tenant, puisqu'il peut se 
composer de plusieurs des régions déterminées dans le plan par les 
diverses branches de la ligne (S). Je dis que la fonction @ (A, B, m?) 
je conserve les notations du $ 2], considérée comme fonction des 
coordonnées du point B, reste différente de zéro et positive à l’in- 
térieur de celle des régions précédentes à l’intérieur de laquelle se 
