812 
On conclura immédiatement de là, en remarquant que le rayon 
du cerele (I) peut être pris inférieur à toute longueur donnée à l'avance, 
que la fonction de Green ne peut en aucun point de la région (A5) 
prendre une valeur négative. En somme, il est prouvé que la fonc- 
tion de Green ne prend une valeur négative en aucun point de la 
région (À). Reste à établir qu’à l’intérieur de cette région, la fone- 
tion de Green est différente de zéro. A cet effet faisons la remar- 
que suivante: soit # une fonction vérifiant l'équation 
Au—m'u—0 
à l’intérieur d’une certaine aire et (C) un cercle de-centre 0 et le 
rayon 7 situé dans cette aire; on aura pour la valeur x (0) de la 
fonction vu en 0, une formule de la forme 
(7) a0) —=U%(r,m) fuds 
(© 
où l'intégrale doit être prise dans le sens des arcs croissants sui- 
vant la circonférence de cercle (C), la fonction % (r, m), dont l’ex- 
pression explicite serait très facile à écrire, étant une quantité tou- 
jours positive. 
Voici ce qu'il est très aisé de conclure de la formule (7): lors- 
qu'une fonction # ne devenant jamais négative dans une 
aire connexe (2) vérifie dans cette aire l'équation 
Au— mu—0, 
et lorsqu’en outre cette fonction s’annule, ne füt-ce qu’en un point 
situé à l’intérieur de l'aire (2). elle est nulle identiquement à l’in- 
térieur de cette aire. 
En s'appuyant sur cette proposition, on voit de suite que, si la 
fonction de Green @ (A, B. m°). considérée comme fonction des 
coordonnées du point B, s’annulait en un point de la région (R) 
envisagée plus haut, elle se réduirait à zero en tout point de cette 
région, distinet du point A. Or, cela est absurde. Done la fonction 
de Green est différente de zéro en tout point intérieur à la région 
(R). Par conséquent, la fonction de Green jouit bien des propriétés 
annoncées dans ce paragraphe. 
Notons en passant que les faits établis dans ce paragraphe con- 
duisent à la conséquence suivante: la fonction de Green relative 
