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distinct des sommets de la ligne (S). Il résulte de ce qui précède 
qu'il en sera de même de la fonction de Green elle-même, J'ajoute, 
qu'en s'appuyant sur les considérations qui viennent d'être exposées 
ainsi que sur le mémoire que j'ai eu à rappeler à plusieurs repri- 
ses, on peut aisément établir le théorème suivant: désignons par 
D G (A, B,m?) la dérivée de la fonction de Green par rapport à 
une quelconque des coordonnées du point B et par / la plus courte 
distance de ce point à la ligne (S); il existera un nombre positif 
p inférieur à l'unité, tel que le produit 
(8) 12 DIGA,.B, m2) 
tende uniformément vers zéro en même temps que la longueur /. 
Ce théorème n’est pas sans intérêt parce que, dans celles des 
applications du théorème de Green où intervient Ja fonction de 
Green, il permet d'éviter les difficultés provenant des sommets de 
la ligne (S). En particulier, on s’assurera aisément que le théorème 
précédent, joint à celui qui concerne lexistence et la continuité de 
la dérivée de la fonction de Green suivant la normale à la ligne 
(S), permet de termer une forme parfaitement rigoureuse à la dé- 
monstration ordinaire de la symétrie de la fonction de Green par 
rapport aux coordonnées des points A et B. 
$ 8. Analyticité de la fonction de Green. Il semblerait au pre- 
mier abord qu'il suffit de faire remarquer à ce sujet que l'équation 
Au— mu —= 0 
est de celles dont toutes les intégrales sont, eomme la montré M: 
Picard, analytiques. Pour voir ce qu'il en est, designöns par Set 
d'une part et par æ et y d'autre part, les coordonnées des deux 
points dont dépend la fonction de Green et représentons cette fonc- 
tion par le symbole @ (3, n, x, y. m?). Cela posé, comme la definition 
de la fonction de Green implique la réalité des quatre variables 
£ mn. x et y, voici le seul résultat que fournit le théorème de M. 
Picard: si l’on attribue à l’un des deux systèmes de deux variables 
&,n où x, y un système de valeurs réelles (a. b). définissant un 
point A situé à l’intérieur du domaine (2) auquel se rapporte la 
fonction de Green, cette fonction, considérée comme fonction des 
variables du second système, sera, dans le voisinage de tout point 
B distinct de 4 et intérieur au domaine (2) une fonction analy- 
tique régulière. Or, à cause de la restriction relative à la réalité 
