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tique régulière pour toute valeur réelle de l’arc. Par conséquent la 
fonction v—v, jouira de la propriété suivante: si l'on convient de 
représenter par D® F l’une quelconque des dérivées d’un ordre quel- 
conque # d’une fonction F des coordonnées rectangulaires x, y d’un 
point variable B, la dérivée D” (v—v,) qui, manifestement sera une 
fonction harmonique à l'extérieur des cercles (C,) et (C,) et régu- 
liere à l'infini, admettra, par rapport aux cercles (C;) et (C,), des 
valeurs périphériques qui constitueront des fonctions continues sur 
la eirconferenee de chacun des cercles (C,) et (C,). En s'appuyant 
sur cette remarque, on tirera immédiatement de la formule (34) les 
conclusions suivantes: 
1° La fonction Du, évidemment harmonique à l’intérieur des 
cercles (C,) et (C,) et régulière à l'infini, admettra dans tous les 
cas, par rapport au cercle (C,), des valeurs périphériques constitu- 
ant, sur la circonférence (C;), une fonction continue. 
2° Pour que, pour toutes les valeurs de », non supérieures à un 
nombre entier et positif k, les fonctions 1° « admettent. par rap- 
port au cercle (C,) des valeurs périphériques constituant sur la cir- 
conférence de ce cercle une fonction continue, il faut et ıl suffit 
qu'il en soit de même des quantités Do. 
Supposons que, par rapport au cercle (C,). les dérivées premie- 
res de la fonction des coordonnées v, admettent des valeurs péri- 
phériques déterminées. fonctions continues de l’arc de la circonfé- 
rence (C,) et soit H, une limite supérieure de ces valeurs périphé- 
riques des dérivées considérées. Proposons-nous de trouver une 
limite supérieure des valeurs absolues des dérivées premières de la 
fonction u définie par la formule (34). A cet effet désignons par 
d 
dN, 
d nine : 8 
ax, la dérivation par rapport à la normale au cerele (C,), les nor- 
males étant, dans les deux cas. dirigées vers l’intérieur de chacun 
la dérivation par rapport à la normale au cercle (C,) et par 
de deux cercles. 
En tenant compte de la forme (4) d’un potentiel de double eou- 
che ainsi que du théorème de Green, on exprimera facilement cha- 
cune des fonctions v,, dy, v,.... entrant dans le second membre de 
l'égalité (32), au moyen d’un potentiel dérivant d’une simple couche 
portée par l’un des cercles (C;) et (C,) et l’on établira ensuite très 
aisément les relations suivantes: 
