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Pour établir les inégalités précédentes, posons: 
| dG (À, x, y. m?) 
CRE, ref (48) 
désignons par G (x, y. & n) la fonction de Green intérieure relative 
au cerele (2) et à l'équation de Laplace et représentons par — sin 4 
et cos 4, les cosinus directeurs de la normale intérieure au cerele 
(Z) en un point (x’, y’) situé sur la circonférence de ce cercle. Nous 
aurons. en supposant que le point x, y soit situé à l'intérieur du 
cerele (I), la relation suivante: 
2T 
: IgG OL 
Bey) 0 CA) EL Sin 0 I cos 0 I 
Sr | dx! dy | 
x (49) 
— m? DE ae, sn), de dm, 
où l'intégrale double devra être étendue à toute l'aire du cerele (2). 
Reportons-nous aux inégalités (27) et (41) d’une part et rappe- 
lons-nous d'autre part que nous avons désigné par 7 la plus courte 
distance du point A à la circonférence (Æ); nous aurons: 
; se l 
U (T'Y) 2 M 2 
7 (50) 
u(e&n)\=2M-— 
En s'appuyant sur les relations (49) et (50). on établira immé- 
diatement l’existence de la quantité (43). On établira aussi sans 
peine les inégalités (45) et (46) pourvu que. en discutant les inté- 
grales doubles que lon aura à considérer, intégrales dans lesquel- 
les la coordonnée x aura la valeur zéro et la coordonnée y une va- 
leur vérifiant les inégalités (44), on décompose chacune de ces in- 
tégrales en deux parties dont lune serait étendue au domaine dé- 
fini par l'inégalité: 
AC (51) 
et l’autre au domaine défini par les inégalités suivantes: 
HE ok Ve 
EL(n—yP = | 
> N y) — 4 à | (52) 
