859 
en désignant par L le maximum de distance de deux points situés 
sur la ligne (S) et par À une longueur telle que, par chaque point 
de la ligne (5), on puisse faire passer un cercle de rayon À exté- 
rieur au domaine (D). 
La démonstration est immédiate. Soit A’ le point de (S) le plus 
voisin du point A (ou l’un des points jouissant de cette propriété 
si exceptionnellement il y en avait plus d’un). Faisons passer par 
le point A’ un cercle (C) de rayon R extérieur au domaine (D) et 
désignons par @ (A, B) la fonction de Green extérieure relative à 
ce cercle et à l'équation de Laplace. On aura: 
GAB mi) CAE): 
Cette remarque faite, il suffit de se reporter à l'inégalité (1) du 
chapitre I pour s'assurer que l'inégalité (84) a lieu. 
IV. Quelques applications des théorèmes précédents. 
$ 26. Considérons une fonction définie sur la ligne (5) et soit 
h (4) la valeur de cette fonction en un point A de cette ligne. Dé- 
signons par ds, l’élément d’are de la ligne (S) relatif au point A 
et bornons-nous à admettre que lintegrale: 
h(A) | ds, (1) 
(8) 
ait un sens. Si l’on pose alors: 
Cu ee (2) 
IN, 
en designant comme ren par @ (A, B, m?) la fonction de 
Green intérieure relative au domaine (D) et à l’&quation: 
AG—m?G—=0, 
le second membre de l'équation (2) aura un sens et la fonction w 
des coordonnées x et y du point B sera parfaitement déterminée à 
l'intérieur du domaine (D). 
En s'appuyant sur les propositions du $ 17, on établira en toute 
rigueur que la fonction w vérifie, à l’intérieur du domaine (D), lé- 
quation aux dérivées partielles: 
Au—mu—=0. 
Supposons que la fonction A (A) soit continue en un point P 
