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Um aus dem Gesamtsystem der Differentialinvarianten der all- 
gemeinen linearen Gruppe das Gesamtsystem der speziellen Gruppe 
zu erhalten, braucht man zu dem ersteren nur die Differentialin- 
variante 7 hinzuzufügen. 
13. Wir gehen jetzt zur Betrachtung der Translationsflächen über. 
In der zitierten Abhandlung: „Über Krümmungseigenschaften 
der Seharen von Linienelementen“ haben wir gesehen, daß die 
notwendigen und hinreichenden Bedingungen, damit zwei vonein- 
ander verschiedene Kurvenscharen 1 und 2 zwei konjugierte Scha- 
ren von kongruenten und gleichgestellten Kurven bilden, die fol- 
genden sind: 
|” 2% —n, A® I2 Im (20 u? + u? 20) + n, u” u” = 0, 
läge I @ do” u® — 
d a 
As Ra, 
Wir wollen nun annehmen, daß die Koordinatenlinien Haupttan- 
gentenkurven sind. Alsdann erhält die erste unserer Bedingungen 
die Form: 
(55) ROUE N NO 
und weder die Schar 1 noch die Schar 2 kann eine Schar der 
Koordinatenlinien bilden. Wir werden uns damit beschäftigen, die 
Scharen 1 und 2 aus den Bedingungen (54) zu bestimmen. Auf 
grund der Beziehung (55) wird man dazu geleitet, in die zweite 
und dritte Bedingung (54) die neue Unbekannte: 
2 © 1® 
(56) anale ol 
w u 
einzuführen. Zu dem Zwecke beachte man, daß die Formeln (56) 
in der Form: 
sin 0 cotg @” — cos 0 —r, 
sin 0 cotg @” — cos 0 = — 7 
geschrieben werden künnen und daf durch Diffcrentiation die Be- 
ziehungen: 
sin 0 cosec? © do” — (cos 0 cotg @” + sin 6) d0 — dr, 
sin 8 cosec? &” do” — (cos 0 cotg ©® + sin 6) d0 + dr 
