12 Felix Iversen. (LXI 



le méme quc celuf des zéros de G (z), c est å dire egal å (>, tandis 

 que Vexposani de coiwergence des racines de la seconde caté- 

 gorie est egal å Vordre p de la fonction donnée f (z) et, par suite, 

 siipérieur å o. 



10. Afiii d'exposer sous uiie lorme aussi nette que pos- 

 sible le cas ou lo est un point transcendanl indirectement 

 critique pour (p (w), considérons la fonction Irés simple 



(3) f{2) = e-^. G{z), 



ou G (z) est d'ordre (> inférieur å un. Nous supposons que 

 les zéros de G (z) sont conjugués deux a deux et qiiil y en a 

 une infinité sur Vaxe réel négatif. La fonction (3) rentre 

 bien dans la classe (2), la valeur exceptionnelle a> étant 

 égale å 0. 



Il Y a dans ce cas, quel que soit le nombre positif r, un 

 seul domaine infini Jq (r), lequel est symétrique par rapport 

 å Taxe réel et renferme la partie infinie de cet axe située 

 å gauche d'un certain point. 



Nous allons voir que (»^=0 est un point transcendant 

 indirectement critique pour la fonction inverse z=(p (u)) de 

 la fonction (3). A cet ef fet il nous faut montrer que toute 

 branche de la portion ~=(p^ (w) de q> (w) qui correspond au 

 domaine infini Jq (r) tend vers une valeur finie, donc vers 

 un zéro de G (z), lorsque w s'approche du point transcendant 

 (0—0 suivant un rayon arbitraire. 



Prenons un point quelconque w' de la circonférence 

 \w\ —r qui n'est pas situé sur Taxe réel, et prolongeons un 

 element de (p^ (w) depuis w' suivant le ra3'on issu de ce point 

 jusqu'å Torigine. Le point z = (f)^ (w), partant d'un point du 

 contour de JqO'), décrit alors un chemin q' qui reste intérieur 

 audit domaine et sur lequel la fonction f (z) tend vers zéro, 

 son argument étant constamment egal å arg w'. Le chemin 

 o' ne peut pas couper Taxe réel, puisque f (z) y est reelle. 

 Puisque la fonction / (z) prend aux points conjugués des 

 valeurs conjuguées, elle tend vers zéro aussi sur le chemin 

 ()' conjugué å o', mais de sorte qu'on y ait arg f {z)= — arg w'. 



Si maintenant <>', et par suite aussi ö', s'étendait å 

 rinfini, ces deux courbes et le segment ;- du contour de 



