AN:ol) Sur les valeurs asjTiiptotiques des fonctions entiöres. 13 



Jq (/•) qui esl compris entré elles, limiteraieiit une portion 

 infinie /I' du domaine z/q (/")• Dans /j' f (z) admet, par 

 hypothése, une infinité de zéros, situés sur l'axe réel négatif, 

 tandis que réquation f(z)=w' n'y a qu'un nombre fini u de 

 racines, situées toutes sur la courbe y. Ceci pose, choisissons 

 v' (> v) elements de (p^{w) correspondant respectivement å v' 

 zéros distincts de / (z) intérieurs å J', et prolongeons ces 

 elements depuis Torigine vers le point w' suivant un chemin 

 intérieur au cercle \w\^r qui ne rencontre pas les rayons 

 arg w=±arg w'. Les points z=(p^{w) qui correspondent 

 respectivement auxdits elements tendront vers j/' racines 

 distinctes de Téquation f(z) = w', en restant toujours com- 

 pris dans le domaine J'. Or ceci est impossible, puisqu'il 

 n'y a que v racines de cette équation qui appartiennent å J'. 

 Cette contradiction prouve que (/ ne saurait s'étendre a 

 rinfini. 



Supposons maintenant la valeur w' reelle. Le rayon 

 (O, w'), suivant lequel on prolouge (p^(w)\ers le point trans- 

 cendant w=0, se confond avec Taxe réel et /(-) est donc 

 reelle sur les courbes q' et q' correspondant å ce rayon. 



Observons d'abord que la courbe (>' ne saurait s'étendrc 

 ä rinfini suivant Taxe réel négatif, puisque celui-ci comprend. 

 par hypothése, des zéros de f (z). 



Il nous suffit, par suite, de distinguer les deux cas sui- 

 vants: ou bien la courbe ()', supposée infinie, admet au plus 

 un point (ou un segment) commun avec Taxe réel, en restant 

 ä partir de ce point extérieure å cet axe, ou bien elle pré- 

 sente un segment fini extérieur å Taxe réel dont les extrémi- 

 tés fassent partie de cet axe. 



Dans la premiére hypothése, on arrive å une contradiction 

 par le méme raisonnement que ci-dessus. Dans la deuxiéme 

 hypothése, on aurait dans le plan des - un domaine fini, 

 limité par le segment considéré de r>' et le segment conjugué 

 de (>', dans lequel la fonction / (z) serait holomorphe en restant 

 reelle sur son contour. La partie imaginaire de / (z), étant 

 nuUe sur ce contour, serait donc nulle aussi a Tintérieur du 

 domaine, et /(-) se réduirait ainsi å une constante, ce qui 

 n'a pas lieu. 



