A N:o 1) Sur les valeurs asyniptotiques des fonclions entiéres. 15 



11. La secoiide calégorie de foiictions entiéres annoncée 

 au n» 1 est celle des fonctioiis d'ordre fini doiit la dérivée 

 ii'admet qu'un nombre fini de zéros. Toute fonction de 

 cette espéce peut s'écrire 



(4) /(2)= r e""^'^ Q{z) dz, 



ou P (z) et Q (r) sont des polynomes. L'ordre de la fonction 

 (4) se confond avec le degré p de P (z). 



Soient f^, ..., 7p les chemins du plan des z sur lesquels 

 P (r) tend vers Tinfini par des valeurs reelles et positives, 

 Tj, ..., Tp les domaines infinis limités par ces chemins et 

 une circonférence arbitrairement grande. Les chemins /'„ 

 s'approchent asymptotiquement de certaines droites paral- 

 léles å des rayons bien déterminés /?„ issus de Torigine et 



faisant entré eux Tangle — . Sur les chemins Vnld fonction 



f (z) tend vers Finfini^), d'oii Ton conclut que tout chemin 

 allant ål' inf i ni sur lequel f (z) est bornée appartient, å partir 

 d'un certain point, å Tun des domaines T„. 



Partageons chacun des p angles compris entré les rayons 

 successifs R^ en quatre parties égales, et désignons par A^, ..., 



71 



Ap les angles de grandeur - formés par les deux parties 

 médianes. Sur un rayon intérieur å un angle ^4„, la fonc- 



méme que les fonctions traitées aux nos 9 et 10 nous semblent propres ä 

 faire voir clairement 1'insufrisance de la classification des points transcen- 

 dants des fonctions inverses proposée par M. Rémoundos dans la Note 

 citée, et qui se fonde exclusivement sur la comparaison de l'ordre de f (z) 

 avec Texposant de convergence Q des racines de l'équation f(z) = a» {ef. 

 notre Note: Siir les valeurs asymptotiqiies des fonctions méromorphes et les 

 singularités transcendantes de leiirs inverses insérée dans les Comptes Ren- 

 dus. Torne 166, 1918, p, 156). 



^) En effet, Gn désignant la courbe du plan des w^zf{z) correspondant 

 ä Tn, etQPet # les arguments des tangentes aux courbes Tn et Gn respective- 

 ment en des points correspondants z et w, on a ^ ■=. cp -\- &rg f (z). Mais, 

 puisque l'argument de e '*^ s'évanouit sur Fn, on a arg f (z) = arg Q (z) 

 et, par suite, # =: qp -}- arg Q (z). Comme Fn est une courbe algébrique, Cp 

 tend vers une limite finie, lorsque le point z s'éloigne vers l'infini suivant 

 cette courbe, et il en est donc de méme de l'argument du polynome Q (z) 

 Donc ^ tend également vers une limite finie déterminée et, par suite, Gn 

 s'étend k Tinfini. 



